Intersección y suma de subespacios

Al combinar dos subespacios de distintas formas, algunos resultados vuelven a ser subespacios y otros no.

La intersección siempre es subespacio. Los elementos que están en los dos cumplen las condiciones de ambos, así que las tres propiedades se verifican sin problema.

La unión, en cambio, casi nunca lo es. Si se toma un vector de cada subespacio y se los suma, el resultado no tiene por qué estar en ninguno de los dos. Solo funciona cuando uno de los dos está contenido en el otro.

Por eso se define la suma de subespacios: todos los vectores que se puedan escribir como uno de cada uno sumados. Esa sí es subespacio, y es el más chico que contiene a los dos.

Hay una fórmula que relaciona las dimensiones: la dimensión de la suma más la de la intersección es igual a la suma de las dimensiones. Sirve para calcular una cuando se conocen las otras tres.

Para hallar la intersección se juntan las condiciones de los dos y se resuelve el sistema.

S + T =

{

s + t

s \in S, t \in T

}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la intersección o la suma de dos subespacios. Para la intersección, junta las condiciones de los dos en un solo sistema. La fórmula de dimensiones ahorra cuentas.

Ejemplo 1

Hallar la intersección de los planos $z = 0$ y $x = 0$ en $R^{3}$ .

Escribimos qué pide cada uno. El primero pide tercera componente cero y el segundo primera componente cero.
Buscamos lo que cumple las dos. Los elementos de la forma $(0, y, 0)$ , con $y$ libre.
Interpretamos. Es el eje $y$ : una recta por el origen, de dimensión $1$ . Dos planos que se cortan dan una recta.
Respuesta: el eje $y$

Ejemplo 2

Mostrar que la unión de los dos ejes de $R^{2}$ no es subespacio.

Elegimos un elemento de cada eje. $(1, 0)$ está en el eje $x$ y $(0, 1)$ en el eje $y$ . Los dos están en la unión.
Los sumamos. $(1, 0) + (0, 1) = (1, 1)$ .
Vemos dónde cayó. No está en ninguno de los dos ejes, así que no está en la unión. Falla la cerradura. La suma de los dos ejes, en cambio, es todo $R^{2}$ .
Respuesta: no es subespacio

Error típico

Confundir la unión con la suma. La unión junta los elementos de los dos conjuntos y nada más. La suma agrega además todos los resultados de sumar uno de cada lado, que es lo que falta para cerrar el conjunto.

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .