Independencia lineal

Un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno se puede escribir como combinación de los otros. Cada uno aporta una dirección nueva.

La forma de verificarlo es plantear la combinación lineal igualada al vector nulo y ver qué coeficientes la satisfacen. Si la única posibilidad es que todos sean cero, el conjunto es independiente.

Si hay alguna solución con algún coeficiente distinto de cero, el conjunto es dependiente, y de esa solución se puede despejar uno de los vectores en función de los otros.

Hay casos que se resuelven de un vistazo. Si el conjunto incluye al vector nulo, es dependiente. Si dos vectores son proporcionales, también. Y si hay más vectores que la dimensión del espacio, no pueden ser independientes.

La independencia es lo que garantiza que las coordenadas de un vector sean únicas. Sin ella, un mismo vector se podría escribir de infinitas formas.

Independencia y generación son las dos condiciones que definen una base, y son en cierto sentido opuestas: una pide que no sobren vectores y la otra que no falten.

a_{1}v_{1} + \dots + a_{n}v_{n} = 0

solo con todos los

a_{i} = 0

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide verificar independencia. Planteá la combinación igualada a cero y resolvé: si la única solución es la trivial, son independientes. Chequeá primero los casos obvios.

Ejemplo 1

Decidir si $(1, 2)$ y $(3, 1)$ son independientes.

Planteamos la combinación igualada a cero. $a(1, 2) + b(3, 1) = (0, 0)$ , que da $a + 3b = 0$ y $2a + b = 0$ .
Miramos el determinante del sistema. $1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -5$ , distinto de cero.
Concluimos. El sistema homogéneo tiene solución única, la trivial, así que los vectores son independientes. Ninguno es múltiplo del otro.
Respuesta: sí, son independientes

Ejemplo 2

Decidir si $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(1, 1, 0)$ son independientes.

Buscamos una relación a ojo. El tercero es la suma de los dos primeros.
La escribimos como combinación igual a cero. $1(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) - 1(1, 1, 0) = (0, 0, 0)$ .
Concluimos. Hay escalares distintos de cero que dan el vector nulo, así que son dependientes. El tercero sobra: los tres generan el mismo plano que los dos primeros.
Respuesta: son dependientes

Error típico

Probar con una combinación particular y concluir. Que exista una combinación que dé cero no dice nada: la trivial siempre da cero. Lo que hay que ver es si hay alguna OTRA además de esa.

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .