Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial es la cantidad de vectores que tiene cualquiera de sus bases. Todas tienen la misma cantidad, y ese hecho es lo que hace que la definición tenga sentido.

Es el número que mejor caracteriza a un espacio, y muchos ejercicios se resuelven solo contando dimensiones.

Las dimensiones de los espacios habituales conviene tenerlas de memoria. Las ternas tienen dimensión tres. Las matrices de dos por dos, cuatro. Los polinomios de grado menor o igual que dos, tres.

Un subespacio nunca tiene dimensión mayor que la del espacio que lo contiene. Y si tienen la misma, son el mismo espacio.

La dimensión da criterios rápidos. Si hay más vectores que la dimensión, no pueden ser independientes. Si hay menos, no pueden generar. Solo con la cantidad justa puede haber base.

El espacio que contiene solo al vector nulo tiene dimensión cero, y su base es el conjunto vacío. Es un caso de borde que aparece en ejercicios teóricos.

\dim R^{n} = n, \dim P_{n} = n + 1, \dim M_{mxn} = m \cdot n

Cuándo se usa

Como chequeo rápido en casi cualquier ejercicio. Contá los vectores y comparalos con la dimensión: eso solo ya descarta muchas posibilidades antes de hacer cuentas.

Ejemplo 1

Hallar la dimensión de $S = {(x, y, z): x + y + z = 0}$ .

Resolvemos la ecuación. Despejando $x = -y - z$ , con $y$ y $z$ libres.
Contamos los parámetros. Quedaron dos libres, así que la dimensión es $2$ .
Escribimos una base. Con $y = 1, z = 0$ sale $(-1, 1, 0)$ y con $y = 0, z = 1$ sale $(-1, 0, 1)$ . Esos dos vectores forman una base de $S$ .
Respuesta: $\dim S = 2$

Ejemplo 2

Hallar la dimensión de $gen{(1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 1, 1)}$ .

No contamos los vectores. Son tres, pero hay que ver cuántos aportan.
Calculamos el rango. El segundo es el doble del primero, así que al escalonar se anula: el rango es $2$ .
Concluimos. La dimensión del generado es $2$ : es un plano por el origen, aunque estén escritos tres vectores.
Respuesta: dimensión $2$

Error típico

Contar la dimensión por la cantidad de vectores escritos. Un subespacio generado por cuatro vectores puede tener dimensión $2$ si dos de ellos sobran. Lo que hay que calcular es el rango.

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .