Ejercicios: Dimensión

2. Identificamos las variables libres. Con $x = y$ y $z = 0$, quedan libres $y$ y $w$.

3. Escribimos un vector genérico. $(y; y; 0; w) = y(1; 1; 0; 0) + w(0; 0; 0; 1)$

4. Leemos la base. Los dos vectores que aparecen generan $S$ y son independientes.

5. Concluimos. La dimensión es $2$. Coincide con la cuenta rápida: dimensión del espacio menos cantidad de restricciones independientes.

Respuesta: la dimensión es $2$

2. Aplicamos el teorema. Si una base tiene $3$ vectores, la dimensión de $S$ es $3$.

3. Concluimos. Ninguna otra base puede tener $4$: sería un conjunto de $4$ vectores en un espacio de dimensión $3$, y eso siempre es dependiente.

4. Explicamos por qué importa. Ese resultado es lo que hace que la dimensión esté bien definida. Si distintas bases pudieran tener distinta cantidad, el concepto no tendría sentido.

Respuesta: no puede: todas las bases de un mismo subespacio tienen la misma cantidad de vectores

2. Tomamos una base de $S$. Una base de $S$ tiene $3$ vectores independientes de $\mathbb{R}^3$.

3. Usamos lo que sabemos. Tres vectores independientes en un espacio de dimensión $3$ generan todo el espacio.

4. Concluimos. $S = \mathbb{R}^3$: es todo el espacio.

5. Generalizamos. Un subespacio con la misma dimensión que el espacio que lo contiene es necesariamente todo el espacio.

Respuesta: $S$ es todo $\mathbb{R}^3$

2. Dimensión $0$. El único subespacio es $\{(0;0;0)\}$: solo el origen.

3. Dimensión $1$. Son las rectas que pasan por el origen.

4. Dimensión $2$. Son los planos que pasan por el origen.

5. Dimensión $3$. Es todo $\mathbb{R}^3$.

6. Observamos. Todos pasan por el origen, porque todo subespacio tiene que contener al vector nulo.

Respuesta: las dimensiones posibles son $0$, $1$, $2$ y $3$: el origen, rectas y planos por el origen, y todo el espacio

2. Despejamos. $x = -y - z - w$, así que quedan libres $y$, $z$ y $w$.

3. Escribimos un vector genérico. $(-y - z - w; y; z; w)$

4. Separamos por parámetro. $= y(-1; 1; 0; 0) + z(-1; 0; 1; 0) + w(-1; 0; 0; 1)$

5. Verificamos la independencia. Cada uno tiene un $1$ en una posición donde los otros tienen $0$, así que ninguna combinación no trivial puede anularse.

6. Concluimos. La dimensión es $3$: cuatro variables menos una restricción. Un subespacio así, de dimensión uno menos que el total, se llama hiperplano.

Respuesta: la dimensión es $3$

2. Recordamos la cota. En un espacio de dimensión $n$, cualquier conjunto de más de $n$ vectores es dependiente.

3. Aplicamos la cota. Cinco vectores dentro de un espacio de dimensión $4$ no pueden ser independientes.

4. Concluimos. No puede.

5. Aclaramos qué no importa. Que $S$ viva dentro de $\mathbb{R}^7$ no cambia nada: lo que acota es la dimensión de $S$, no la del espacio que lo contiene.

6. Damos el criterio. La dimensión es a la vez el máximo de vectores independientes y el mínimo de generadores.

Respuesta: no puede: en un subespacio de dimensión $4$ cualquier conjunto de $5$ vectores es dependiente

2. Vemos qué genera el conjunto vacío. Por convención, genera solo el vector nulo: no hay nada que combinar.

3. Verificamos que sea subespacio. $\{(0; 0; 0; 0)\}$ contiene al nulo, y sumar o escalar el nulo da el nulo. Cumple las tres condiciones.

4. Concluimos. $S = \{(0; 0; 0; 0)\}$: el subespacio trivial.

5. Aclaramos el punto fino. No es el conjunto vacío. Todo subespacio contiene al menos al vector nulo, así que ninguno es vacío.

6. Observamos. Es el subespacio más chico posible, y está contenido en todos los demás.

Respuesta: $S$ es el subespacio trivial $\{(0; 0; 0; 0)\}$

2. Dimensión $0$. Solo el origen, $\{(0; 0)\}$.

3. Dimensión $1$. Las rectas que pasan por el origen, una por cada dirección.

4. Dimensión $2$. Todo el plano $\mathbb{R}^2$.

5. Señalamos qué queda afuera. Una recta que no pasa por el origen no es subespacio, y tampoco lo es la unión de dos rectas ni ninguna curva.

6. Contamos los casos. Hay exactamente un subespacio de dimensión $0$, uno de dimensión $2$, e infinitos de dimensión $1$.

Respuesta: las dimensiones posibles son $0$, $1$ y $2$: el origen, las rectas por el origen y todo el plano

2. Identificamos las variables libres. Una vez fijada una de las cinco, todas las demás quedan determinadas: hay una sola variable libre.

3. Escribimos un vector genérico. $(a; a; a; a; a)$ con $a$ cualquiera.

4. Sacamos el parámetro. $(a; a; a; a; a) = a(1; 1; 1; 1; 1)$

5. Leemos la base. $S$ está generado por el único vector $(1; 1; 1; 1; 1)$, que no es nulo y por lo tanto es independiente.

6. Concluimos. La dimensión es $1$: cinco variables menos cuatro restricciones. Es una recta que pasa por el origen de $\mathbb{R}^5$.

Respuesta: la dimensión es $1$

2. Suponemos que dos alcanzaran. Si dos vectores generaran $S$, de ellos se podría extraer una base, que tendría a lo sumo $2$ vectores.

3. Sacamos la contradicción. Esa base tendría menos de $3$ vectores, y todas las bases de $S$ tienen exactamente $3$.

4. Concluimos. No pueden: dos vectores generan a lo sumo un subespacio de dimensión $2$.

5. Damos la otra mitad del criterio. Con menos de $\dim S$ vectores nunca se genera, y con más de $\dim S$ nunca hay independencia.

6. Cerramos. Por eso una base tiene exactamente $\dim S$ vectores: es el único punto donde las dos condiciones se pueden cumplir juntas.

Respuesta: no pueden: hacen falta al menos $3$ vectores para generar un subespacio de dimensión $3$

2. Tomamos una base de $S$. Sea $B$ una base de $S$, con $n$ vectores independientes.

3. La miramos dentro de $T$. Como $S \subseteq T$, esos $n$ vectores también están en $T$, y siguen siendo independientes.

4. Usamos el criterio de conteo. En un espacio de dimensión $n$, cualquier conjunto de $n$ vectores independientes es una base. Así que $B$ es base de $T$.

5. Comparamos lo que generan. $B$ genera $S$ y genera $T$, así que $S$ y $T$ son el mismo conjunto.

6. Concluimos. $S = T$. Es la herramienta que se usa para probar igualdades de subespacios sin comparar elemento por elemento: alcanza con una inclusión y las dimensiones.

Respuesta: $S = T$: una base de $S$ resulta ser base de $T$, así que generan lo mismo

2. Dimensión $0$ y dimensión $4$. El primero es solo el origen; el último es todo $\mathbb{R}^4$.

3. Dimensión $1$ y dimensión $2$. Rectas y planos que pasan por el origen, igual que en $\mathbb{R}^3$.

4. Dimensión $3$. Es el caso nuevo: no hay forma de dibujarlo, pero se describe con una sola ecuación lineal homogénea, como $x + y + z + w = 0$.

5. Definimos hiperplano. Un hiperplano es un subespacio de dimensión uno menos que el total. En $\mathbb{R}^4$ tiene dimensión $3$; en $\mathbb{R}^3$ es un plano común y en $\mathbb{R}^2$ es una recta.

6. Damos el criterio general. Cada ecuación lineal homogénea independiente baja la dimensión en uno, así que un hiperplano siempre sale de una sola ecuación.

Respuesta: las dimensiones posibles son $0$, $1$, $2$, $3$ y $4$; el hiperplano es el de dimensión $3$, definido por una sola ecuación