Integradores de Espacios vectoriales

1. Planteamos la combinación. Buscamos $a$ y $b$ tales que $a\,(1; 2) + b\,(3; 1) = (5; 5)$.

2. Separamos por componentes. Queda el sistema $\begin{cases} a + 3b = 5 \\ 2a + b = 5 \end{cases}$.

3. Resolvemos. De la primera, $a = 5 - 3 b$; reemplazando en la segunda sale $b = 1$ y de ahí $a = 2$.

4. Verificamos. $2 \cdot (1; 2) + 1 \cdot (3; 1) = (5; 5)$.

Respuesta: sí, es combinación lineal, con $a = 2$ y $b = 1$

b)

1. Vemos qué hay que probar. Generar $\mathbb{R}^{2}$ es que CUALQUIER vector se escriba como combinación, no solo el $\vec{w}$ de a).

2. Armamos la matriz con los dos vectores como columnas. Es $\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$.

3. Calculamos su rango. El determinante es $1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = -5$, distinto de cero, así que el rango es $2$.

4. Concluimos. El rango es igual a la cantidad de filas, así que las columnas generan todo $\mathbb{R}^{2}$.

Respuesta: sí, generan $\mathbb{R}^{2}$

c)

1. Planteamos la combinación igualada a cero. $a\,\vec{v_1} + b\,\vec{v_2} = \vec{0}$.

2. Usamos la matriz de b). Es el mismo sistema pero con el lado derecho en cero, y su determinante ya dio $-5$.

3. Concluimos. Determinante distinto de cero quiere decir solución única, y la única es $a = b = 0$: son independientes.

Respuesta: sí, son linealmente independientes, con rango $2$

d)

1. Recordamos qué es una base. Un conjunto que genera y es independiente.

2. Juntamos b) y c). En b) vimos que generan $\mathbb{R}^{2}$ y en c) que son independientes.

3. Contamos. Son $2$ vectores en un espacio de dimensión $2$, que es lo que tiene que pasar.

Respuesta: sí, es base de $\mathbb{R}^{2}$, con $2$ vectores

1. Armamos la matriz con los tres como columnas. $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$.

2. Calculamos el determinante. Desarrollando queda $-2$.

3. Concluimos. Es distinto de cero, así que el sistema $a\vec{v_1} + b\vec{v_2} + c\vec{v_3} = \vec{0}$ tiene solo la solución trivial: son independientes.

Respuesta: sí, son linealmente independientes, con rango $3$

b)

1. Contamos. Son $3$ vectores en $\mathbb{R}^{3}$.

2. Usamos a). Con tantos vectores como la dimensión del espacio, alcanza con la independencia, y en a) el determinante dio $-2$.

3. Concluimos. Generan y son independientes: forman base.

Respuesta: sí, es base de $\mathbb{R}^{3}$, con $3$ vectores

c)

1. Contamos los vectores de la base de b). Son $3$ y son independientes.

2. Recordamos la definición. La dimensión es la cantidad de vectores de cualquier base.

3. Concluimos. El generado es todo $\mathbb{R}^{3}$ y su dimensión es $3$.

Respuesta: la dimensión es $3$

d)

1. Planteamos qué son las coordenadas. Son los $a$, $b$, $c$ tales que $a\vec{v_1} + b\vec{v_2} + c\vec{v_3} = \vec{w}$.

2. Vemos que son únicas. Como b) mostró que es base, hay un solo trío que funciona.

3. Resolvemos el sistema. $\begin{cases} a + c = 2 \\ b + c = 3 \\ a + b = 1 \end{cases}$.

4. Verificamos. $0 \cdot (1; 0; 1) + 1 \cdot (0; 1; 1) + 2 \cdot (1; 1; 0) = (2; 3; 1)$.

Respuesta: las coordenadas son $(0; 1; 2)$

1. Planteamos el sistema homogéneo. El espacio nulo son las soluciones de $A\vec{x} = \vec{0}$.

2. Escalonamos. La segunda fila es el doble de la primera, así que se anula y queda una sola ecuación: $x + 2y - z = 0$.

3. Despejamos. $z = x + 2y$, con $x$ e $y$ libres.

4. Escribimos los generadores. Tomando $x = 1$, $y = 0$ y después $x = 0$, $y = 1$, salen dos vectores independientes.

Respuesta: hay infinitas soluciones y una base es $\{(-2; 1; 0); (1; 0; 1)\}$, de dimensión $2$

b)

1. Contamos los vectores de la base de a). Son $2$.

2. Lo cruzamos con el rango. La matriz tiene rango $1$ y hay $3$ incógnitas, y el teorema dice que rango más nulidad da la cantidad de columnas.

3. Verificamos. $1 + 2 = 3$, que cierra.

Respuesta: la dimensión es $2$

c)

1. Vemos si está el vector nulo. $A\vec{0} = \vec{0}$, así que sí. Si no estuviera, ya no sería subespacio y no haría falta seguir.

2. Vemos la suma. Si $A\vec{u} = \vec{0}$ y $A\vec{v} = \vec{0}$, entonces $A(\vec{u} + \vec{v}) = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$.

3. Vemos el producto por un escalar. $A(k\vec{u}) = k\,A\vec{u} = \vec{0}$.

4. Concluimos. Cumple las tres condiciones, y su dimensión $2$ de b) es menor que $3$: es un subespacio propio de $\mathbb{R}^{3}$.

Respuesta: sí, es subespacio, de dimensión $2$

d)

1. Chequeamos que el vector esté en el espacio nulo. $A\,(-1; 1; 1) = \vec{0}$, así que tiene coordenadas en la base de a).

2. Planteamos la combinación. Buscamos $a$ y $b$ con $a\,(-2; 1; 0) + b\,(1; 0; 1) = (-1; 1; 1)$.

3. Resolvemos. Sale $a = 1$ y $b = 1$.

4. Verificamos. Reemplazando, la combinación da el vector pedido.

Respuesta: sí, es combinación lineal, con coordenadas $(1; 1)$

1. Multiplicamos componente a componente y sumamos. $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 7 = 31$.

2. Calculamos la norma de $\vec{u}$. Es la raíz del producto interno consigo mismo: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$.

3. Calculamos la norma de $\vec{v}$. $\sqrt{1^{2} + 7^{2}} = 5 \sqrt{2}$.

Respuesta: $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 31$, $\|\vec{u}\| = 5$ y $\|\vec{v}\| = 5 \sqrt{2}$

b)

1. Recordamos el criterio. Dos vectores son ortogonales cuando su producto interno da cero.

2. Miramos el valor de a). Dio $31$, distinto de cero.

3. Concluimos. No son ortogonales, y por eso c) tiene sentido: si ya lo fueran, Gram-Schmidt los devolvería igual.

Respuesta: no son ortogonales: el producto interno da $31$

c)

1. Dejamos el primero como está. $\vec{g_1} = \vec{u} = (3; 4)$.

2. Le sacamos al segundo su parte en la dirección del primero. $\vec{g_2} = \vec{v} - \dfrac{\langle \vec{v}, \vec{u} \rangle}{\|\vec{u}\|^{2}}\,\vec{u}$, y los dos números del cociente ya salieron en a).

3. Hacemos la cuenta. $\vec{g_2} = (1; 7) - \dfrac{31}{25}\,(3; 4) = (- \dfrac{68}{25}; \dfrac{51}{25})$.

4. Verificamos. $\langle \vec{g_1}, \vec{g_2} \rangle = 0$, que es lo que tenía que dar.

Respuesta: $\vec{g_1} = (3; 4)$ y $\vec{g_2} = (- \dfrac{68}{25}; \dfrac{51}{25})$

d)

1. Vemos qué subespacio es. El generado por $\vec{u}$ tiene dimensión $1$, así que la proyección es la fórmula de la sombra sobre un vector.

2. Calculamos el producto interno de $\vec{w}$ con $\vec{u}$. $2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 10$.

3. Dividimos por la norma al cuadrado. El denominador es $25$, que sale de la norma de a) elevada al cuadrado.

4. Multiplicamos por $\vec{u}$. $\dfrac{10}{25}\,(3; 4) = (\dfrac{6}{5}; \dfrac{8}{5})$.

Respuesta: la proyección es $(\dfrac{6}{5}; \dfrac{8}{5})$

1. Vemos si está el vector nulo. Tomando los dos coeficientes en cero, la combinación da $\vec{0}$: está.

2. Vemos la suma. La suma de dos combinaciones de $(1; 0; 1)$ y $(0; 1; 1)$ es otra combinación de los mismos dos, sumando los coeficientes.

3. Vemos el producto por un escalar. Multiplicar una combinación por $k$ multiplica los dos coeficientes por $k$ y sigue siendo una combinación.

4. Concluimos. Todo generado por un conjunto de vectores es subespacio, y esta es la razón.

Respuesta: sí, $S$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{3}$, de dimensión $2$

b)

1. Planteamos la igualdad. Un vector de la intersección se escribe de las dos formas: $a\,(1; 0; 1) + b\,(0; 1; 1) = c\,(1; 1; 2)$.

2. Separamos por componentes. Queda $\begin{cases} a - c = 0 \\ b - c = 0 \\ a + b - 2c = 0 \end{cases}$.

3. Resolvemos. De las dos primeras, $a = c$ y $b = c$; reemplazando en la tercera, $c + c = 2c$, que se cumple siempre.

4. Leemos el resultado. Con $c = 1$ sale el vector $(1; 1; 2)$, así que la intersección es todo $T$: $T$ está contenido en $S$.

Respuesta: $S \cap T$ es el generado por $(1; 1; 2)$

c)

1. Recordamos el criterio. La suma es directa cuando la intersección es solo el vector nulo.

2. Miramos b). La intersección resultó el generado por $(1; 1; 2)$, que tiene dimensión $1$ y no es solo el nulo.

3. Concluimos. La suma no es directa.

Respuesta: no es suma directa: la intersección tiene dimensión $1$

d)

1. Usamos la fórmula de las dimensiones. $\dim(S + T) = \dim S + \dim T - \dim(S \cap T)$.

2. Contamos cada una. $\dim S = 2$, $\dim T = 1$ y, por b), $\dim(S \cap T) = 1$.

3. Reemplazamos. $2 + 1 - 1 = 2$.

4. Lo leemos. Como $T$ está adentro de $S$, sumar $T$ no agrega nada y $S + T$ es $S$.

Respuesta: la dimensión de $S + T$ es $2$

1. Miramos las columnas. Son $(1; 2)$ y $(2; 4)$.

2. Vemos si una es múltiplo de la otra. $(2; 4) = 2 \cdot (1; 2)$, así que la segunda es el doble de la primera.

3. Sacamos la repetida. Con una sola alcanza para generar lo mismo, así que el espacio columna tiene dimensión $1$.

Respuesta: una base es $\{(1; 2)\}$, de dimensión $1$

b)

1. Contamos. La base de a) tiene $1$ vector.

2. Comparamos con la dimensión del espacio. $\mathbb{R}^{2}$ tiene dimensión $2$.

3. Concluimos. Un solo vector genera a lo sumo una recta por el origen, así que no genera $\mathbb{R}^{2}$: el espacio columna es un subespacio propio.

Respuesta: no generan $\mathbb{R}^{2}$: la dimensión es $1$ y harían falta $2$

c)

1. Agregamos el vector que falta. Como b) mostró que falta uno, sumamos $(0; 1)$ a la base de a).

2. Chequeamos que ahora sí sea base. El determinante de $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$ es $1$, distinto de cero, así que los dos son independientes y hay $2$ en un espacio de dimensión $2$.

3. Planteamos el sistema de las coordenadas. $a\,(1; 2) + b\,(0; 1) = (3; 6)$, o sea $\begin{cases} a = 3 \\ 2a + b = 6 \end{cases}$.

4. Resolvemos y verificamos. Sale $a = 3$ y $b = 0$, y reemplazando vuelve $(3; 6)$.

Respuesta: las coordenadas son $(3; 0)$

d)

1. Vemos qué tiene que hacer la matriz. Tiene que llevar las coordenadas en la base de c) a las coordenadas en la canónica.

2. Armamos las columnas. Cada columna es un vector de la base de c) escrito en la canónica, que es el vector tal cual: $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$.

3. Verificamos con c). Multiplicando la matriz por las coordenadas $(3; 0)$ tiene que volver $\vec{w}$, y da $(3; 6)$.

Respuesta: la matriz de cambio de base es $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{bmatrix}$

1. Buscamos el neutro. Es el vector que sumado a cualquiera lo deja igual: $(2; -1) + \vec{0} = (2; -1)$, así que $\vec{0} = (0; 0)$.

2. Buscamos el opuesto de $\vec{u}$. Es el que sumado a $\vec{u}$ da el nulo: hay que cambiarle el signo a cada componente.

3. Lo escribimos y verificamos. $-\vec{u} = (-2; 1)$, y $(2; -1) + (-2; 1) = (0; 0)$.

Respuesta: $\vec{0} = (0; 0)$ y $-\vec{u} = (-2; 1)$

b)

1. Buscamos una base. La canónica es $\{(1; 0); (0; 1)\}$, y el nulo de a) es el que se obtiene con los dos coeficientes en cero.

2. Contamos sus vectores. Son $2$.

3. Concluimos. La dimensión de $\mathbb{R}^{n}$ es $n$, así que acá es $2$.

Respuesta: la dimensión de $\mathbb{R}^{2}$ es $2$

c)

1. Vemos si está el nulo. El $(0; 0)$ de a) cumple $0 + 0 = 0$: está.

2. Vemos la suma. Si $x_1 + y_1 = 0$ y $x_2 + y_2 = 0$, sumando queda $(x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = 0$.

3. Vemos el producto por un escalar. Si $x + y = 0$, entonces $kx + ky = k(x + y) = 0$.

4. Concluimos. Cumple las tres, así que es subespacio, y su dimensión es $1$: es una recta por el origen dentro del espacio de dimensión $2$ de b).

Respuesta: sí, es subespacio, de dimensión $1$

d)

1. Multiplicamos por los escalares. $3\,\vec{u} = (6; -3)$ y $2\,\vec{v} = (2; 6)$.

2. Restamos. $\vec{w} = (6; -3) - (2; 6) = (4; -9)$.

3. Chequeamos la condición de $S$ de c). Sumamos las componentes: $4 - 9 = -5$.

4. Concluimos. La suma no da cero, así que $\vec{w}$ no está en $S$.

Respuesta: $\vec{w} = (4; -9)$, la suma de sus componentes da $-5$ y no pertenece a $S$

1. Ordenamos las entradas. Cada matriz se escribe leyendo sus cuatro entradas en orden: $(1; 0; 0; 1)$, $(0; 1; 1; 0)$ y $(1; 1; 1; 1)$.

2. Armamos la matriz con los tres como columnas. Es de $4 \times 3$: $\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$.

3. Calculamos el rango. Escalonando quedan $2$ pivotes, así que el rango es $2$ y hay $3$ vectores.

4. Concluimos. El rango es menor que la cantidad de vectores, así que son dependientes.

Respuesta: son dependientes: el rango es $2$ y sobra $1$ vector

b)

1. Planteamos con las matrices. Buscamos $a$, $b$, $c$ no todos nulos con $a M_1 + b M_2 + c M_3 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$.

2. Miramos la relación que sugiere a). El rango dio $2$ con $3$ vectores, así que hay exactamente una relación.

3. La encontramos. $M_1 + M_2 = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} = M_3$, o sea $M_1 + M_2 - M_3$ da la matriz nula.

4. Concluimos. Hay coeficientes no todos nulos, así que son dependientes: la respuesta es la misma que la de a), como tenía que ser, porque escribir las matrices como vectores no cambia nada.

Respuesta: son dependientes, con $M_1 + M_2 - M_3$ igual a la matriz nula, rango $2$ y $1$ relación

c)

1. Usamos la relación de b). $M_3$ es suma de las otras dos, así que se puede sacar sin cambiar el generado.

2. Nos quedamos con las dos primeras. Son independientes, porque ninguna es múltiplo de la otra.

3. Contamos. Quedan $2$ vectores, que coincide con el rango de a).

Respuesta: una base es $\{(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 0)\}$, de dimensión $2$

d)

1. Planteamos el sistema. El espacio nulo son los $(a; b; c)$ con $a\,(1; 0; 0; 1) + b\,(0; 1; 1; 0) + c\,(1; 1; 1; 1) = \vec{0}$.

2. Usamos lo de b). Ahí quedó que $M_1 + M_2 - M_3$ da cero, así que $(1; 1; -1)$ es solución.

3. Contamos la dimensión. El rango es $2$ y hay $3$ columnas, así que la nulidad es $3 - 2 = 1$.

4. Concluimos. Con dimensión $1$, esa única solución genera todo el espacio nulo.

Respuesta: hay infinitas soluciones y una base es $\{(-1; -1; 1)\}$

1. Calculamos la norma de $\vec{u}$. $\|\vec{u}\| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3$.

2. Calculamos la norma de $\vec{v}$. $\sqrt{2^{2} + (-2)^{2} + 1^{2}} = 3$.

3. Anotamos para qué sirven. Los cuadrados de estas normas van a ser los denominadores de c).

Respuesta: $\|\vec{u}\| = 3$ y $\|\vec{v}\| = 3$

b)

1. Calculamos el producto interno. $1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 0$.

2. Aplicamos el criterio. Da cero, así que son ortogonales.

3. Vemos qué facilita. Con los dos de norma $3$ y ortogonales, los coeficientes de c) salen con una división y no resolviendo un sistema.

Respuesta: sí, son ortogonales: el producto interno da $0$

c)

1. Usamos la ortogonalidad de b). Con vectores ortogonales, el coeficiente de cada uno es el producto interno de $\vec{w}$ con ese vector dividido por su norma al cuadrado.

2. Calculamos el primero. $\dfrac{3 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{9} = \dfrac{9}{9} = 1$, con el denominador que es el cuadrado de la norma de a).

3. Calculamos el segundo. $\dfrac{9}{9} = 1$.

4. Verificamos. $1\,(1; 2; 2) + 1\,(2; -2; 1) = (3; 0; 3)$.

Respuesta: sí, es combinación lineal, con coeficientes $1$ y $1$

d)

1. Contamos. Son $2$ vectores y el espacio tiene dimensión $3$.

2. Aplicamos el criterio. Para generar $\mathbb{R}^{3}$ hacen falta al menos $3$ vectores, porque el generado de $2$ tiene dimensión a lo sumo $2$.

3. Concluimos. No generan: generan un plano por el origen. Que $\vec{w}$ se escriba como combinación, como salió en c), no contradice esto: dice que ese $\vec{w}$ está en el plano.

Respuesta: no generan $\mathbb{R}^{3}$: el generado tiene dimensión $2$ y el espacio tiene $3$

1. Dejamos el primero. $\vec{g_1} = (1; 1; 0)$.

2. Calculamos el coeficiente de la resta. $\dfrac{\langle \vec{v}, \vec{u} \rangle}{\|\vec{u}\|^{2}} = \dfrac{1}{2}$.

3. Restamos. $\vec{g_2} = (1; 0; 1) - \dfrac{1}{2}\,(1; 1; 0) = (\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}; 1)$.

4. Verificamos la ortogonalidad. $\langle \vec{g_1}, \vec{g_2} \rangle = 0$.

Respuesta: $\vec{g_1} = (1; 1; 0)$ y $\vec{g_2} = (\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}; 1)$

b)

1. Calculamos la norma del primero de a). $\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{2}$.

2. Calculamos la del segundo. $\sqrt{\dfrac{1}{2}^{2} + (- \dfrac{1}{2})^{2} + 1^{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

3. Anotamos. Ninguna da $1$, así que la base de a) es ortogonal pero no ortonormal: para ortonormalizarla habría que dividir cada vector por su norma.

Respuesta: $\|\vec{g_1}\| = \sqrt{2}$ y $\|\vec{g_2}\| = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$

c)

1. Usamos que la base de a) es ortogonal. Con una base ortogonal la proyección es la suma de las proyecciones sobre cada vector, sin resolver ningún sistema.

2. Proyectamos sobre el primero. $\dfrac{2}{2}\,(1; 1; 0)$, con el denominador que es el cuadrado de la primera norma de b).

3. Proyectamos sobre el segundo. $\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}\,(\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}; 1)$.

4. Sumamos. La proyección es $(\dfrac{4}{3}; \dfrac{2}{3}; \dfrac{2}{3})$.

5. Verificamos. $\vec{w}$ menos la proyección tiene que ser ortogonal a los dos, y su producto interno con $\vec{g_1}$ da $0$.

Respuesta: la proyección es $(\dfrac{4}{3}; \dfrac{2}{3}; \dfrac{2}{3})$

d)

1. Vemos qué hace la matriz. Cada columna es un vector de la base de a) escrito en la canónica, que es el vector tal cual.

2. La armamos. $\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2} \\ 1 & - \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1\end{bmatrix}$.

3. Chequeamos la dimensión. Es de $3 \times 2$, porque la base tiene $2$ vectores y vive en $\mathbb{R}^{3}$: no es cuadrada, y eso está bien.

4. Verificamos con c). Las coordenadas de la proyección en la base de a) son $(1; \dfrac{2}{3})$, y multiplicando por la matriz vuelve $(\dfrac{4}{3}; \dfrac{2}{3}; \dfrac{2}{3})$.

Respuesta: la matriz es $\begin{bmatrix}1 & \dfrac{1}{2} \\ 1 & - \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

1. Dejamos el primero. $\vec{g_1} = (1; 1; 0)$.

2. Calculamos el coeficiente. $\dfrac{\langle (0; 1; 1), (1; 1; 0) \rangle}{\|(1; 1; 0)\|^{2}} = \dfrac{1}{2}$.

3. Restamos. $\vec{g_2} = (0; 1; 1) - \dfrac{1}{2}\,(1; 1; 0) = (- \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}; 1)$.

4. Verificamos. El producto interno de los dos da $0$.

Respuesta: una base ortogonal de $S$ es $\{(1; 1; 0); (- \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}; 1)\}$

b)

1. Planteamos qué es el complemento. Son los vectores ortogonales a TODO $S$, y alcanza con pedir ortogonalidad a los generadores.

2. Armamos el sistema. Poniendo los dos generadores como filas queda $\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$, y hay que resolver el homogéneo.

3. Escalonamos y despejamos. Sale un solo grado de libertad.

4. Controlamos la dimensión. $\dim S + \dim S^{\perp}$ tiene que dar $3$, y da $2 + 1$.

Respuesta: una base de $S^{\perp}$ es $\{(1; -1; 1)\}$

c)

1. Pensamos qué vector podría estar en los dos. Tendría que ser ortogonal a sí mismo.

2. Escribimos eso. Si $\vec{x}$ está en $S$ y en $S^{\perp}$, entonces $\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle = 0$.

3. Usamos la propiedad de la norma. El producto interno de un vector consigo mismo es cero solo para el vector nulo.

4. Lo comprobamos con b). El generador de $S^{\perp}$ no es combinación de los de $S$, así que la intersección es solo el origen.

Respuesta: $S \cap S^{\perp}$ es solo el vector nulo, de dimensión $0$

d)

1. Miramos las dos condiciones. Para que la suma sea directa y dé todo el espacio hacen falta dos cosas: intersección trivial y que las dimensiones sumen $3$.

2. Usamos c). La intersección es solo el nulo.

3. Usamos b). Las dimensiones son $2$ y $1$, y suman $3$.

4. Concluimos. Se cumplen las dos, así que la suma es directa y da $\mathbb{R}^{3}$.

Respuesta: sí, es suma directa, con intersección de dimensión $0$, y da $\mathbb{R}^{3}$

1. Buscamos el neutro. Es la matriz que sumada a cualquier otra la deja igual, así que todas sus entradas son cero: $\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$.

2. Buscamos el opuesto. Es la que sumada a $M_1$ da la nula.

3. La escribimos. Se le cambia el signo a cada entrada: $-M_1 = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$.

Respuesta: el neutro es $\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$ y $-M_1 = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$

b)

1. Buscamos una base. Las cuatro matrices que tienen un $1$ en una posición y ceros en el resto generan cualquier matriz de $2 \times 2$, y la nula de a) es la que sale con los cuatro coeficientes en cero.

2. Contamos. Son $4$ y son independientes, porque cada una es la única que aporta a su posición.

3. Concluimos. La dimensión del espacio de matrices de $2 \times 2$ es $4$, que es el producto de las dos dimensiones.

Respuesta: la dimensión es $4$

c)

1. Escribimos cada matriz como vector. Leyendo las cuatro entradas en orden: $(1; 0; 0; 0)$, $(0; 0; 0; 1)$ y $(1; 0; 0; 1)$, que viven en el espacio de dimensión $4$ de b).

2. Buscamos una relación. Sumando las dos primeras queda $(1; 0; 0; 1)$, que es la tercera.

3. La escribimos con coeficientes. $M_1 + M_2 - M_3$ da la matriz nula de a), con coeficientes no todos nulos.

4. Concluimos. Son dependientes, y el rango de la matriz de las tres columnas es $2$ y no $3$.

Respuesta: son dependientes, con $M_1 + M_2 - M_3$ igual a la matriz nula, rango $2$ y $1$ relación

d)

1. Usamos los vectores de c). El producto interno entrada a entrada es el producto interno canónico de esos vectores de $\mathbb{R}^{4}$.

2. Multiplicamos y sumamos. $1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.

3. Aplicamos el criterio. Da cero, así que son ortogonales.

4. Lo leemos. Tiene sentido: los unos de $M_1$ y $M_2$ están en posiciones distintas, así que ningún producto de entradas aporta.

Respuesta: sí, son ortogonales: el producto interno da $0$