Subespacios

Un subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial que a su vez es espacio vectorial con las mismas operaciones.

No hace falta verificar las ocho propiedades, porque se heredan del espacio grande. Alcanza con tres condiciones: que el vector nulo pertenezca, que la suma de dos elementos siga adentro, y que el producto por un escalar también.

La primera condición es la que conviene chequear primero, porque descarta muchos casos de inmediato. Si el vector nulo no cumple la condición que define al conjunto, no es subespacio y no hace falta seguir.

Ese chequeo elimina enseguida todo lo que esté definido por una ecuación con término independiente distinto de cero. Un plano que no pasa por el origen no es subespacio.

En general, los conjuntos definidos por ecuaciones lineales homogéneas son subespacios. Los definidos por desigualdades o por ecuaciones no lineales, no.

Geométricamente, en el espacio los subespacios son solo cuatro: el origen solo, las rectas que pasan por el origen, los planos que pasan por el origen, y todo el espacio.

0 \in S, u + v \in S, k \cdot u \in S

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide probar si un conjunto es subespacio. Verificá primero si el vector nulo pertenece: si no, ya está descartado. Si sí, chequeá suma y producto por escalar.

Ejemplo 1

Decidir si $S = {(x, y): y = 2x}$ es subespacio de $R^{2}$ .

Chequeamos el vector nulo. Con $(0, 0)$ : $0 = 2 \cdot 0$ se cumple, así que el origen pertenece.
Chequeamos la suma. Si $(a, 2a)$ y $(b, 2b)$ están en $S$ , su suma es $(a + b, 2a + 2b)$ , que también cumple la ecuación.
Chequeamos el escalar. $k \cdot (a, 2a) = (ka, 2ka)$ , que sigue cumpliendo. Las tres condiciones valen: es un subespacio, y es la recta de pendiente $2$ que pasa por el origen.
Respuesta: sí, es subespacio

Ejemplo 2

Decidir si $S = {(x, y): y = 2x + 1}$ es subespacio de $R^{2}$ .

Empezamos por el vector nulo. Reemplazando $(0, 0)$ : $0 = 2 \cdot 0 + 1$ da $0 = 1$ , que es falso.
Concluimos. El origen no pertenece, así que no es subespacio. No hace falta chequear nada más.
Vemos qué es geométricamente. Es una recta de pendiente $2$ corrida una unidad hacia arriba. Paralela a un subespacio, pero no lo es.
Respuesta: no lo es

Error típico

Chequear la suma y el producto pero olvidar el vector nulo. Es la condición más barata de verificar y la que descarta la mitad de los casos: cualquier conjunto definido por una ecuación con término independiente distinto de cero ya queda afuera.

Practicar

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