Espacio fila, columna y nulo

A cada matriz se le asocian tres subespacios, y entender qué es cada uno ordena mucho el tema.

El espacio fila es el generado por las filas de la matriz. El espacio columna es el generado por sus columnas. El espacio nulo es el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado.

El espacio fila y el columna tienen la misma dimensión, que es el rango de la matriz. Es un resultado sorprendente y muy útil.

La dimensión del espacio nulo se llama nulidad, y hay una relación que las vincula: el rango más la nulidad es igual a la cantidad de columnas. Se conoce como teorema del rango.

Para hallar una base del espacio fila se escalona y se toman las filas no nulas. Para el espacio columna se escalona y se toman las columnas originales correspondientes a los pivotes, no las columnas escalonadas.

Para el espacio nulo se resuelve el sistema homogéneo y se escribe la solución general en términos de parámetros libres: los vectores que multiplican a cada parámetro forman la base.

dim nulo

= n -

rango

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide bases de estos espacios, o cuando aparece el teorema del rango. Para el espacio columna, tomá las columnas de la matriz original, no las de la escalonada.

Ejemplo 1

Hallar el espacio nulo de la matriz de filas $(1, 2)$ y $(2, 4)$ .

Planteamos el sistema homogéneo. $x + 2y = 0$ y $2x + 4y = 0$ , que es la misma ecuación repetida.
Resolvemos con un parámetro. Despejando $x = -2y$ . Con $y = t$ queda $(-2t, t)$ .
Contamos la dimensión. Un parámetro libre, así que la dimensión es $1$ , que coincide con $2 - 1$ : las columnas menos el rango.
Respuesta: la recta $(-2t, t)$

Ejemplo 2

Hallar el espacio columna de la misma matriz.

Escribimos las columnas. Son $(1, 2)$ y $(2, 4)$ .
Vemos cuántas aportan. La segunda es el doble de la primera, así que el generado es solo la recta de $(1, 2)$ .
Confirmamos con el rango. La dimensión es $1$ , igual que la del espacio fila, como tiene que pasar siempre.
Respuesta: $gen{(1, 2)}$

Error típico

Calcular el espacio nulo resolviendo el sistema con términos independientes. El espacio nulo sale siempre del sistema homogéneo, con ceros del otro lado del igual. Con cualquier otro término independiente el conjunto ni siquiera sería un subespacio.

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

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