Base

Una base es un conjunto de vectores que es independiente y además genera el espacio. Es el concepto central del volumen.

Esas dos condiciones se equilibran. Generar pide que haya suficientes vectores, e independencia pide que no haya de más. Una base es el punto justo.

Su importancia práctica es que todo vector del espacio se escribe como combinación lineal de la base, y de una sola forma. Esa unicidad es lo que permite hablar de coordenadas.

Un mismo espacio tiene infinitas bases distintas, pero todas tienen la misma cantidad de vectores. Ese número es la dimensión.

La base canónica es la más simple de cada espacio: los versores de los ejes para las ternas, las matrices con un solo uno para las matrices, y las potencias de la variable para los polinomios. Es la que se usa por defecto cuando el enunciado no aclara.

Hay un atajo muy usado: si ya se conoce la dimensión del espacio y se tiene esa cantidad de vectores, alcanza con verificar una de las dos condiciones. La otra sale sola.

base

=

genera

+

independiente

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide hallar o verificar una base. Si la cantidad de vectores coincide con la dimensión, alcanza con verificar independencia: no hace falta probar que generan.

Ejemplo 1

Decidir si ${(1, 1), (1, -1)}$ es base de $R^{2}$ .

Contamos primero. Son dos vectores en un espacio de dimensión $2$ : la cantidad es la justa, así que alcanza con probar una condición.
Probamos independencia con el determinante. $1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 = -2$ , distinto de cero.
Concluimos. Son independientes y son dos, así que también generan: es una base de $R^{2}$ .
Respuesta: sí, es base

Ejemplo 2

Decidir si ${(1, 0), (0, 1), (1, 1)}$ es base de $R^{2}$ .

Contamos. Son tres vectores en un espacio de dimensión $2$ .
Aplicamos el atajo. Con más vectores que la dimensión, el conjunto es dependiente sin necesidad de cuentas.
Concluimos. Genera $R^{2}$ , pero no es base porque le sobra un vector. De hecho $(1, 1) = (1, 0) + (0, 1)$ .
Respuesta: no es base

Error típico

Contestar que un conjunto es base solo porque genera. Generar no alcanza: si además es dependiente, hay vectores de sobra y no es base. Las dos condiciones tienen que valer juntas.

Practicar

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Otros subtemas de Espacios vectoriales

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .