Ejercicios: Base

2. Usamos el atajo del conteo. Hay exactamente tres vectores en un espacio de dimensión tres. En ese caso las dos condiciones son equivalentes: alcanza con verificar una.

3. Verificamos la independencia. $\det\begin{bmatrix}2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \\ 4 & -1 & 4\end{bmatrix} = -20 \neq 0$

4. Concluimos. Los vectores son independientes y son tres, así que forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Respuesta: sí es una base de $\mathbb{R}^3$

2. Concluimos que no es base. Un conjunto dependiente nunca es base, aunque genere el subespacio.

3. Buscamos una base del mismo subespacio. Como uno es múltiplo del otro, con quedarse con uno solo alcanza para generar lo mismo.

4. Escribimos la base. $\{(1; 2; 3)\}$ genera el mismo subespacio y es independiente, así que es base.

5. Damos la dimensión. La dimensión es $1$: el subespacio es una recta que pasa por el origen.

Respuesta: no es base; una base es $\{(1; 2; 3)\}$ y la dimensión es $1$

2. Escribimos un vector genérico. $(-y - z; y; z)$, con $y$ y $z$ cualesquiera.

3. Separamos por parámetro. $(-y - z; y; z) = y(-1; 1; 0) + z(-1; 0; 1)$

4. Leemos los generadores. Los dos vectores que aparecen generan $S$, y no son múltiplos uno del otro, así que son independientes.

5. Concluimos. Una base de $S$ es $\{(-1; 1; 0), (-1; 0; 1)\}$, y la dimensión es $2$: es un plano por el origen.

Respuesta: una base es $\{(-1; 1; 0), (-1; 0; 1)\}$

2. Verificamos si generan. Los dos tienen tercera componente cero, así que ninguna combinación puede alcanzar a $(0; 0; 1)$.

3. Concluimos. Son independientes pero no generan, así que no forman una base de $\mathbb{R}^3$.

4. Contamos. Faltan vectores: en un espacio de dimensión $3$ hacen falta exactamente tres.

5. Aclaramos qué sí son. Sí son una base del plano $z = 0$, que es un subespacio de dimensión $2$.

Respuesta: no es base de $\mathbb{R}^3$: son independientes pero no generan

2. Usamos el atajo del conteo. Hay exactamente tres vectores en un espacio de dimensión tres. En ese caso las dos condiciones son equivalentes: alcanza con verificar una.

3. Verificamos la independencia. $\det\begin{bmatrix}3 & 3 & 2 \\ -3 & 3 & -2 \\ 2 & 3 & -3\end{bmatrix} = -78 \neq 0$

4. Concluimos. Los vectores son independientes y son tres, así que forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Respuesta: sí es una base de $\mathbb{R}^3$

2. Escribimos la dependencia. $(1; 1; 2) = (1; 0; 1) + (0; 1; 1)$, así que el conjunto es dependiente.

3. Concluimos que no es base. Sobra un vector: el tercero no aporta nada que los otros dos no generen ya.

4. Verificamos los dos primeros. $(0; 1; 1)$ no es múltiplo de $(1; 0; 1)$, porque la primera componente de uno es cero y la del otro no. Son independientes.

5. Escribimos la base. $\{(1; 0; 1), (0; 1; 1)\}$ es base del subespacio generado.

6. Damos la dimensión. La dimensión es $2$: el subespacio es un plano que pasa por el origen.

Respuesta: no es base; una base es $\{(1; 0; 1), (0; 1; 1)\}$ y la dimensión es $2$

2. Identificamos las variables libres. Quedan libres $y$ y $z$: son dos.

3. Escribimos un vector genérico. $(2y; y; z)$, con $y$ y $z$ cualesquiera.

4. Separamos por parámetro. $(2y; y; z) = y(2; 1; 0) + z(0; 0; 1)$

5. Verificamos la independencia. Ninguno de los dos es múltiplo del otro, así que son independientes.

6. Concluimos. Una base de $S$ es $\{(2; 1; 0), (0; 0; 1)\}$, y la dimensión es $2$.

Respuesta: una base es $\{(2; 1; 0), (0; 0; 1)\}$

2. Verificamos la independencia. $(1; 1) = (1; 0) + (0; 1)$, así que el tercero es combinación de los otros dos.

3. Concluimos. Generan pero no son independientes, así que no forman una base.

4. Contamos. Son tres vectores en un espacio de dimensión $2$: siempre sobra al menos uno.

5. Decimos cómo se arregla. Sacando cualquiera de los tres queda una base. Por ejemplo $\{(1; 0), (1; 1)\}$ también sirve.

6. Comparamos con el caso opuesto. Acá sobran vectores; cuando faltan, el conjunto es independiente pero no genera. Una base es el punto justo entre las dos cosas.

Respuesta: no es base de $\mathbb{R}^2$: generan pero son dependientes

2. Usamos el atajo del conteo. Hay exactamente tres vectores en un espacio de dimensión tres. En ese caso las dos condiciones son equivalentes: alcanza con verificar una.

3. Verificamos la independencia. $\det\begin{bmatrix}1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & 3\end{bmatrix} = -6 \neq 0$

4. Concluimos. Los vectores son independientes y son tres, así que forman una base de $\mathbb{R}^3$.

Respuesta: sí es una base de $\mathbb{R}^3$

2. Concluimos sobre la independencia. Son dependientes, así que el conjunto no es base.

3. Vemos qué generan. Todas las combinaciones son múltiplos de $(2; -1)$: una recta por el origen.

4. Escribimos la base. $\{(2; -1)\}$ alcanza para generar lo mismo y es independiente.

5. Damos la dimensión. La dimensión es $1$.

6. Observamos. Aunque los dos vectores viven en $\mathbb{R}^2$, entre los dos no generan el plano. La cantidad de vectores no determina la dimensión de lo que generan.

Respuesta: no es base; una base es $\{(2; -1)\}$ y la dimensión es $1$

2. Despejamos. De la primera, $x = -w$. De la segunda, $y = z$.

3. Elegimos los parámetros libres. Tomamos $z$ y $w$ como libres.

4. Escribimos un vector genérico. $(-w; z; z; w)$

5. Separamos por parámetro. $(-w; z; z; w) = z(0; 1; 1; 0) + w(-1; 0; 0; 1)$

6. Concluimos. Una base de $S$ es $\{(0; 1; 1; 0), (-1; 0; 0; 1)\}$, y la dimensión es $2$: cuatro variables menos dos restricciones.

Respuesta: una base es $\{(0; 1; 1; 0), (-1; 0; 0; 1)\}$

2. Verificamos la independencia. Si $(3; 4)$ fuera múltiplo de $(1; 2)$, el factor debería ser $3$ por la primera componente, pero $3 \cdot 2 = 6 \neq 4$. No son múltiplos.

3. Usamos el criterio de conteo. En un espacio de dimensión $2$, dos vectores independientes generan todo. No hace falta verificar la generación aparte.

4. Concluimos. Sí es una base de $\mathbb{R}^2$.

5. Verificamos con el determinante. $\det \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix} = 4 - 6 = -2 \neq 0$, lo que confirma la independencia.

6. Observamos. Cuando la cantidad de vectores coincide con la dimensión, alcanza con verificar una de las dos condiciones: la otra viene sola.

Respuesta: sí es una base de $\mathbb{R}^2$