Método

Ejercicios: Independencia con matrices

rango == cantidad de vectores independientes

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Usando matrices, decidí si las filas de [23−241−321−4]\begin{bmatrix}2 & 3 & -2 \\ 4 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -4\end{bmatrix} son linealmente independientes.

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1. Planteamos el método. Verificar independencia se reduce a estudiar un sistema homogéneo, y las matrices son la forma más eficiente de hacerlo.

2. Armamos la matriz con los vectores. Cada vector va en una fila, que es lo que ya está dado.

3. Calculamos el determinante. det⁡=24\det = 24, distinto de cero.

4. Concluimos. Determinante no nulo significa rango máximo, o sea que las tres filas son independientes.

5. Observamos. Este atajo solo sirve cuando la matriz es cuadrada. Si hubiera más o menos vectores que componentes, habría que escalonar y calcular el rango.

Respuesta: las filas son linealmente independientes

2. Hallá cuántos de los vectores fila de [3−343244−3−2−413]\begin{bmatrix}3 & -3 & 4 & 3 \\ 2 & 4 & 4 & -3 \\ -2 & -4 & 1 & 3\end{bmatrix} son linealmente independientes.

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1. Vemos por qué no sirve el determinante. La matriz no es cuadrada, así que no tiene determinante. Hay que usar el rango.

2. Recordamos qué mide el rango. El rango es exactamente la cantidad de filas linealmente independientes.

3. Escalonamos. Aplicando operaciones de filas se lleva la matriz a forma escalonada y se cuentan las filas no nulas.

4. Contamos. El rango es 33.

5. Concluimos. Hay 33 vectores linealmente independientes entre las tres filas.

Respuesta: hay 33 vectores linealmente independientes

3. Decidí si las filas de [4−43−2−4−32−80]\begin{bmatrix}4 & -4 & 3 \\ -2 & -4 & -3 \\ 2 & -8 & 0\end{bmatrix} son independientes y, si no lo son, escribí la relación de dependencia.

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1. Calculamos el determinante. det⁡=0\det = 0, o sea cero.

2. Concluimos sobre la independencia. Las filas son linealmente dependientes.

3. Buscamos la relación concreta. Al escalonar aparece una fila de ceros, y rastreando las operaciones se ve de dónde sale.

4. Escribimos la dependencia. La tercera fila es la suma de las dos primeras: f3=f1+f2f_3 = f_1 + f_2.

5. Verificamos. (4;−4;3)+(−2;−4;−3)=(2;−8;0)(4; -4; 3) + (-2; -4; -3) = (2; -8; 0), que es exactamente la tercera fila.

Respuesta: son dependientes, con f3=f1+f2f_3 = f_1 + f_2

4. Hallá los valores de kk para que {(−1;3),(k;−2)}\{(-1; 3), (k; -2)\} sea linealmente dependiente.

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1. Planteamos la condición. Dos vectores del plano son dependientes exactamente cuando el determinante de la matriz que forman vale cero.

2. Armamos el determinante. det⁡=(−1)(−2)−(3)⋅k=2−3k\det = (-1)(-2) - (3) \cdot k = 2 - 3k

3. Igualamos a cero. 2−3k=02 - 3k = 0

4. Despejamos. k=23k = \dfrac{2}{3}

5. Interpretamos. Para ese valor los dos vectores quedan alineados. Para cualquier otro son independientes y generan todo el plano.

Respuesta: k=23k = \dfrac{2}{3}

5. Usando matrices, decidí si las filas de [−4−4−42−4−1−2−1−1]\begin{bmatrix}-4 & -4 & -4 \\ 2 & -4 & -1 \\ -2 & -1 & -1\end{bmatrix} son linealmente independientes.

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1. Planteamos el método. Verificar independencia se reduce a estudiar un sistema homogéneo, y las matrices son la forma más eficiente de hacerlo.

2. Armamos la matriz con los vectores. Cada vector va en una fila, que es lo que ya está dado.

3. Calculamos el determinante. det⁡=12\det = 12, distinto de cero.

4. Concluimos. Determinante no nulo significa rango máximo, o sea que las tres filas son independientes.

5. Observamos. Este atajo solo sirve cuando la matriz es cuadrada. Si hubiera más o menos vectores que componentes, habría que escalonar y calcular el rango.

Respuesta: las filas son linealmente independientes

6. Hallá cuántos de los vectores fila de [3−341−12−423−4−31]\begin{bmatrix}3 & -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & -4 & 2 \\ 3 & -4 & -3 & 1\end{bmatrix} son linealmente independientes.

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1. Vemos por qué no sirve el determinante. La matriz no es cuadrada, así que no tiene determinante. Hay que usar el rango.

2. Recordamos qué mide el rango. El rango es exactamente la cantidad de filas linealmente independientes.

3. Escalonamos. Aplicando operaciones de filas se lleva la matriz a forma escalonada y se cuentan las filas no nulas.

4. Contamos. El rango es 33.

5. Concluimos. Hay 33 vectores linealmente independientes entre las tres filas.

Respuesta: hay 33 vectores linealmente independientes

7. Decidí si las filas de [−3−4321−2−1−31]\begin{bmatrix}-3 & -4 & 3 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & -3 & 1\end{bmatrix} son independientes y, si no lo son, escribí la relación de dependencia.

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1. Calculamos el determinante. det⁡=0\det = 0, o sea cero.

2. Concluimos sobre la independencia. Las filas son linealmente dependientes.

3. Buscamos la relación concreta. Al escalonar aparece una fila de ceros, y rastreando las operaciones se ve de dónde sale.

4. Escribimos la dependencia. La tercera fila es la suma de las dos primeras: f3=f1+f2f_3 = f_1 + f_2.

5. Verificamos. (−3;−4;3)+(2;1;−2)=(−1;−3;1)(-3; -4; 3) + (2; 1; -2) = (-1; -3; 1), que es exactamente la tercera fila.

Respuesta: son dependientes, con f3=f1+f2f_3 = f_1 + f_2

8. Hallá los valores de kk para que {(3;3),(k;2)}\{(3; 3), (k; 2)\} sea linealmente dependiente.

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1. Planteamos la condición. Dos vectores del plano son dependientes exactamente cuando el determinante de la matriz que forman vale cero.

2. Armamos el determinante. det⁡=(3)(2)−(3)⋅k=6−3k\det = (3)(2) - (3) \cdot k = 6 - 3k

3. Igualamos a cero. 6−3k=06 - 3k = 0

4. Despejamos. k=2k = 2

5. Interpretamos. Para ese valor los dos vectores quedan alineados. Para cualquier otro son independientes y generan todo el plano.

Respuesta: k=2k = 2

9. Usando matrices, decidí si las filas de [3−1−23−3−4−3−31]\begin{bmatrix}3 & -1 & -2 \\ 3 & -3 & -4 \\ -3 & -3 & 1\end{bmatrix} son linealmente independientes.

Ver solución

1. Planteamos el método. Verificar independencia se reduce a estudiar un sistema homogéneo, y las matrices son la forma más eficiente de hacerlo.

2. Armamos la matriz con los vectores. Cada vector va en una fila, que es lo que ya está dado.

3. Calculamos el determinante. det⁡=−18\det = -18, distinto de cero.

4. Concluimos. Determinante no nulo significa rango máximo, o sea que las tres filas son independientes.

5. Observamos. Este atajo solo sirve cuando la matriz es cuadrada. Si hubiera más o menos vectores que componentes, habría que escalonar y calcular el rango.

Respuesta: las filas son linealmente independientes

10. Hallá cuántos de los vectores fila de [1−22232−14−1−331]\begin{bmatrix}1 & -2 & 2 & 2 \\ 3 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & -3 & 3 & 1\end{bmatrix} son linealmente independientes.

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1. Vemos por qué no sirve el determinante. La matriz no es cuadrada, así que no tiene determinante. Hay que usar el rango.

2. Recordamos qué mide el rango. El rango es exactamente la cantidad de filas linealmente independientes.

3. Escalonamos. Aplicando operaciones de filas se lleva la matriz a forma escalonada y se cuentan las filas no nulas.

4. Contamos. El rango es 33.

5. Concluimos. Hay 33 vectores linealmente independientes entre las tres filas.

Respuesta: hay 33 vectores linealmente independientes

11. Decidí si las filas de [1−24−4−33−3−57]\begin{bmatrix}1 & -2 & 4 \\ -4 & -3 & 3 \\ -3 & -5 & 7\end{bmatrix} son independientes y, si no lo son, escribí la relación de dependencia.

Ver solución

1. Calculamos el determinante. det⁡=0\det = 0, o sea cero.

2. Concluimos sobre la independencia. Las filas son linealmente dependientes.

3. Buscamos la relación concreta. Al escalonar aparece una fila de ceros, y rastreando las operaciones se ve de dónde sale.

4. Escribimos la dependencia. La tercera fila es la suma de las dos primeras: f3=f1+f2f_3 = f_1 + f_2.

5. Verificamos. (1;−2;4)+(−4;−3;3)=(−3;−5;7)(1; -2; 4) + (-4; -3; 3) = (-3; -5; 7), que es exactamente la tercera fila.

Respuesta: son dependientes, con f3=f1+f2f_3 = f_1 + f_2

12. Hallá los valores de kk para que {(−2;−2),(k;1)}\{(-2; -2), (k; 1)\} sea linealmente dependiente.

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1. Planteamos la condición. Dos vectores del plano son dependientes exactamente cuando el determinante de la matriz que forman vale cero.

2. Armamos el determinante. det⁡=(−2)(1)−(−2)⋅k=−2+2k\det = (-2)(1) - (-2) \cdot k = -2 + 2k

3. Igualamos a cero. −2+2k=0-2 + 2k = 0

4. Despejamos. k=1k = 1

5. Interpretamos. Para ese valor los dos vectores quedan alineados. Para cualquier otro son independientes y generan todo el plano.

Respuesta: k=1k = 1

Integradores de Espacios vectoriales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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