Ejercicios: Independencia lineal

1. Decidí si $\{(-4; 1; 3), (-4; -2; 2), (2; -1; 4)\}$ es linealmente independiente.

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1. Recordamos la definición. Un conjunto es independiente cuando la única combinación lineal que da el vector nulo es la que tiene todos los coeficientes en cero.

2. Planteamos el sistema homogéneo. $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$ da un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

3. Usamos el determinante. El sistema tiene solo la solución trivial si el determinante no es cero: $\begin{bmatrix}-4 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 4\end{bmatrix}$ tiene $\det = 68$ .

4. Concluimos. El determinante no da cero, así que la única solución es la trivial y el conjunto es linealmente independiente.

Respuesta: es linealmente independiente

2. Decidí si $\{(3; -1; 3), (-6; 2; -6), (3; -4; -6)\}$ es linealmente independiente.

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1. Miramos los vectores antes de calcular. El segundo es $-2$ veces el primero.

2. Escribimos la dependencia. $-2\,(3; -1; 3) - (-6; 2; -6) = (0; 0; 0)$ , una combinación que da el nulo con coeficientes no todos cero.

3. Aplicamos la definición. Existe una combinación no trivial que da el vector nulo, así que el conjunto es linealmente dependiente.

4. Concluimos. No hace falta el tercer vector: con que dos sean múltiplos alcanza para que todo el conjunto sea dependiente.

5. Observamos. Mirar si hay múltiplos antes de plantear el sistema ahorra bastante trabajo.

Respuesta: es linealmente dependiente

3. Decidí si un conjunto que contiene al vector nulo puede ser linealmente independiente.

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1. Escribimos una combinación conveniente. Si el conjunto es $\{0, v_1, \dots, v_n\}$ , tomamos la combinación $1 \cdot 0 + 0 \cdot v_1 + \dots + 0 \cdot v_n$ .

2. Vemos qué da. El resultado es el vector nulo.

3. Miramos los coeficientes. El primero vale $1$ , distinto de cero, así que la combinación no es trivial.

4. Concluimos. Existe una combinación no trivial que da el nulo, así que el conjunto es dependiente.

5. Generalizamos. Ningún conjunto que contenga al vector nulo puede ser independiente. Es un criterio rápido para descartar.

Respuesta: no puede: todo conjunto que contiene al vector nulo es linealmente dependiente

4. Decidí si cuatro vectores de $\mathbb{R}^3$ pueden ser linealmente independientes.

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1. Planteamos el sistema. La condición de independencia da un sistema homogéneo con una ecuación por cada componente y una incógnita por cada vector.

2. Contamos. Con vectores de $\mathbb{R}^3$ hay $3$ ecuaciones, y con cuatro vectores hay $4$ incógnitas.

3. Aplicamos lo que sabemos de sistemas homogéneos. Un homogéneo con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene soluciones distintas de la trivial.

4. Concluimos. Siempre existe una combinación no trivial que da el nulo, así que cuatro vectores de $\mathbb{R}^3$ nunca pueden ser independientes.

5. Generalizamos. En un espacio de dimensión $n$ , cualquier conjunto con más de $n$ vectores es dependiente.

Respuesta: no pueden: en $\mathbb{R}^3$ cualquier conjunto de más de tres vectores es dependiente

5. Decidí si $\{(2; -3; -4), (4; 4; -1), (-3; 4; -3)\}$ es linealmente independiente.

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1. Recordamos la definición. Un conjunto es independiente cuando la única combinación lineal que da el vector nulo es la que tiene todos los coeficientes en cero.

2. Planteamos el sistema homogéneo. $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$ da un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

3. Usamos el determinante. El sistema tiene solo la solución trivial si el determinante no es cero: $\begin{bmatrix}2 & -3 & -4 \\ 4 & 4 & -1 \\ -3 & 4 & -3\end{bmatrix}$ tiene $\det = -173$ .

4. Concluimos. El determinante no da cero, así que la única solución es la trivial y el conjunto es linealmente independiente.

Respuesta: es linealmente independiente

6. Decidí si $\{(-5; 4; 1), (-15; 12; 3), (1; 2; -3)\}$ es linealmente independiente.

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1. Miramos los vectores antes de calcular. El segundo es $3$ veces el primero.

2. Escribimos la dependencia. $3\,(-5; 4; 1) - (-15; 12; 3) = (0; 0; 0)$ , una combinación que da el nulo con coeficientes no todos cero.

3. Aplicamos la definición. Existe una combinación no trivial que da el vector nulo, así que el conjunto es linealmente dependiente.

4. Concluimos. No hace falta el tercer vector: con que dos sean múltiplos alcanza para que todo el conjunto sea dependiente.

5. Observamos. Mirar si hay múltiplos antes de plantear el sistema ahorra bastante trabajo.

Respuesta: es linealmente dependiente

7. Decidí si un conjunto que tiene dos vectores repetidos puede ser linealmente independiente.

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1. Escribimos el conjunto. Sea $\{v, v, v_3, \dots, v_n\}$ , con el mismo vector $v$ apareciendo dos veces.

2. Buscamos una combinación no trivial. Tomamos coeficientes $1$ y $-1$ para las dos copias, y cero para el resto.

3. Vemos qué da. $1 \cdot v + (-1) \cdot v + 0 \cdot v_3 + \dots = v - v = 0$ .

4. Miramos los coeficientes. Hay coeficientes distintos de cero, así que la combinación no es trivial.

5. Concluimos. El conjunto es dependiente. Un vector repetido siempre rompe la independencia.

6. Observamos. Es el mismo fenómeno que con el nulo: en los dos casos hay información de más, que se puede armar con el resto.

Respuesta: no puede: dos copias del mismo vector dan la combinación no trivial $v - v = 0$

8. Decidí si dos vectores de $\mathbb{R}^3$ pueden generar todo el espacio.

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1. Planteamos qué haría falta. Generar $\mathbb{R}^3$ significa que todo vector se escriba como combinación de los dos.

2. Miramos qué generan dos vectores. Si son dependientes generan una recta; si son independientes generan un plano. En el mejor caso, dimensión $2$ .

3. Comparamos con la dimensión del espacio. $\mathbb{R}^3$ tiene dimensión $3$ , y un subespacio de dimensión $2$ no puede ser todo el espacio.

4. Concluimos. Dos vectores nunca generan $\mathbb{R}^3$ .

5. Generalizamos. Para generar un espacio de dimensión $n$ hacen falta al menos $n$ vectores, y exactamente $n$ si además son independientes.

6. Juntamos las dos cotas. Con menos de $n$ no se genera; con más de $n$ no se puede ser independiente. Una base tiene exactamente $n$ .

Respuesta: no pueden: dos vectores generan a lo sumo un plano, y $\mathbb{R}^3$ tiene dimensión $3$

9. Decidí si $\{(3; -3; 3), (-1; -2; 1), (2; 2; -3)\}$ es linealmente independiente.

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1. Recordamos la definición. Un conjunto es independiente cuando la única combinación lineal que da el vector nulo es la que tiene todos los coeficientes en cero.

2. Planteamos el sistema homogéneo. $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$ da un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

3. Usamos el determinante. El sistema tiene solo la solución trivial si el determinante no es cero: $\begin{bmatrix}3 & -3 & 3 \\ -1 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & -3\end{bmatrix}$ tiene $\det = 21$ .

4. Concluimos. El determinante no da cero, así que la única solución es la trivial y el conjunto es linealmente independiente.

Respuesta: es linealmente independiente

10. Decidí si $\{(-3; -6; -6), (-6; -12; -12), (-4; -6; -1)\}$ es linealmente independiente.

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1. Miramos los vectores antes de calcular. El segundo es $2$ veces el primero.

2. Escribimos la dependencia. $2\,(-3; -6; -6) - (-6; -12; -12) = (0; 0; 0)$ , una combinación que da el nulo con coeficientes no todos cero.

3. Aplicamos la definición. Existe una combinación no trivial que da el vector nulo, así que el conjunto es linealmente dependiente.

4. Concluimos. No hace falta el tercer vector: con que dos sean múltiplos alcanza para que todo el conjunto sea dependiente.

5. Observamos. Mirar si hay múltiplos antes de plantear el sistema ahorra bastante trabajo.

Respuesta: es linealmente dependiente

11. Decidí si un conjunto formado por un único vector no nulo puede ser linealmente dependiente.

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1. Escribimos la condición. El conjunto es $\{v\}$ con $v \neq 0$ . Sería dependiente si existiera $\alpha \neq 0$ con $\alpha v = 0$ .

2. Suponemos que ese $\alpha$ existe. Si $\alpha \neq 0$ , se puede multiplicar la igualdad por $\dfrac{1}{\alpha}$ .

3. Despejamos. $\dfrac{1}{\alpha}(\alpha v) = \dfrac{1}{\alpha} \cdot 0$ , o sea $v = 0$ .

4. Sacamos la contradicción. Eso choca con la hipótesis de que $v$ no es nulo.

5. Concluimos. No puede: un conjunto de un solo vector no nulo siempre es independiente.

6. Cerramos el caso restante. Si en cambio $v = 0$ , el conjunto $\{0\}$ sí es dependiente, porque $1 \cdot 0 = 0$ con coeficiente no nulo.

Respuesta: no puede: un único vector no nulo siempre es linealmente independiente

12. Demostrá que cualquier subconjunto de un conjunto linealmente independiente también es independiente.

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1. Planteamos la situación. Sea $\{v_1, \dots, v_n\}$ independiente, y tomemos un subconjunto, por ejemplo $\{v_1, \dots, v_k\}$ con $k < n$ .

2. Suponemos que el subconjunto fuera dependiente. Entonces habría coeficientes no todos nulos con $\alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_k v_k = 0$ .

3. Extendemos esa combinación al conjunto grande. Le agregamos los vectores que faltan con coeficiente cero: $\alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_k v_k + 0 v_{k+1} + \dots + 0 v_n = 0$ .

4. Miramos los coeficientes. Sigue habiendo alguno distinto de cero, el que ya lo era. Es una combinación no trivial del conjunto grande que da el nulo.

5. Sacamos la contradicción. Eso diría que el conjunto grande es dependiente, y por hipótesis es independiente.

6. Concluimos. Todo subconjunto de un conjunto independiente es independiente. Quitar vectores nunca crea dependencia; agregarlos sí puede.

Respuesta: todo subconjunto de un conjunto independiente es independiente