Ejercicios: Conjunto generador

2. Tomamos un vector genérico. Sea $(a; b)$ un vector cualquiera de $\mathbb{R}^2$.

3. Buscamos los coeficientes. $(a; b) = a(1; 0) + b(0; 1)$, así que los coeficientes son directamente las componentes.

4. Concluimos. Todo vector se alcanza, así que el conjunto genera $\mathbb{R}^2$.

5. Observamos. Es la base canónica, y su ventaja es justamente que los coeficientes coinciden con las coordenadas.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^2$

2. Miramos la tercera componente. Los dos vectores tienen tercera componente cero, así que cualquier combinación de ellos también la va a tener.

3. Buscamos un contraejemplo. El vector $(0; 0; 1)$ no se puede escribir como combinación de ellos, porque ninguna combinación llega a tener tercera componente no nula.

4. Concluimos. El conjunto no genera $\mathbb{R}^3$: genera solo el plano $z = 0$.

5. Generalizamos. Hacen falta al menos tantos vectores como la dimensión del espacio. Dos nunca alcanzan para generar $\mathbb{R}^3$.

Respuesta: no genera $\mathbb{R}^3$: solo genera el plano $z = 0$

2. Armamos la matriz. Ponemos los tres vectores como filas: $\begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ -3 & 4 & 3 \\ 1 & -4 & 2\end{bmatrix}$.

3. Calculamos el determinante. $\det = 73$, distinto de cero.

4. Concluimos. Los tres vectores son independientes, así que generan todo $\mathbb{R}^3$ y además forman una base.

5. Observamos. Con exactamente tantos vectores como la dimensión, generar e independencia son equivalentes: si pasa una, pasa la otra.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^3$

2. Concluimos sobre la generación. El conjunto genera $\mathbb{R}^2$.

3. Verificamos la independencia. El tercer vector es combinación de los otros dos: $(2; 3) = 2(1; 0) + 3(0; 1)$.

4. Concluimos sobre la base. Al haber dependencia, no es base. Sobra un vector.

5. Diferenciamos los dos conceptos. Generar y ser base no es lo mismo: una base es un generador que además es independiente, o sea sin vectores de más.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^2$, pero no es base porque los tres vectores son dependientes

2. Escribimos el sistema. $\alpha + \beta = a$ y $\alpha - \beta = b$.

3. Resolvemos. Sumando las dos ecuaciones queda $2\alpha = a + b$, y restándolas $2\beta = a - b$.

4. Despejamos. $\alpha = \dfrac{a+b}{2}$ y $\beta = \dfrac{a-b}{2}$, que existen siempre porque el $2$ nunca se anula.

5. Concluimos. Todo vector se alcanza, así que el conjunto genera $\mathbb{R}^2$.

6. Observamos. No hace falta que sea la base canónica. Cualquier par de vectores no paralelos genera el plano; lo que cambia es cuánto cuesta calcular los coeficientes.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^2$

2. Comparamos los dos vectores. $(2; 0) = 2(1; 0)$: el segundo es múltiplo del primero.

3. Escribimos qué se puede obtener. Toda combinación es $\alpha(1; 0) + \beta(2; 0) = (\alpha + 2\beta; 0)$: siempre con segunda componente cero.

4. Buscamos un contraejemplo. $(0; 1)$ no se alcanza, porque ninguna combinación tiene segunda componente no nula.

5. Concluimos. No genera $\mathbb{R}^2$: genera solo el eje $x$.

6. Señalamos la lección. Tener tantos vectores como la dimensión no alcanza. Si son dependientes, generan menos de lo que su cantidad sugiere.

Respuesta: no genera $\mathbb{R}^2$: solo genera el eje $x$

2. Armamos la matriz. Ponemos los tres vectores como filas: $\begin{bmatrix}1 & -4 & -1 \\ -1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & 1\end{bmatrix}$.

3. Calculamos el determinante. $\det = -21$, distinto de cero.

4. Concluimos. Los tres vectores son independientes, así que generan todo $\mathbb{R}^3$ y además forman una base.

5. Observamos. Con exactamente tantos vectores como la dimensión, generar e independencia son equivalentes: si pasa una, pasa la otra.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^3$

2. Concluimos sobre la generación. El conjunto genera $\mathbb{R}^3$.

3. Contamos los vectores. Son cuatro en un espacio de dimensión $3$. Cuatro vectores en $\mathbb{R}^3$ nunca pueden ser independientes.

4. Exhibimos la dependencia. $(1; 1; 1) = (1; 0; 0) + (0; 1; 0) + (0; 0; 1)$.

5. Concluimos sobre la base. No es base: sobra un vector.

6. Damos el criterio de conteo. Una base de un espacio de dimensión $n$ tiene exactamente $n$ vectores. Con más, sobran; con menos, no alcanzan para generar.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^3$, pero no es base porque tiene cuatro vectores en un espacio de dimensión $3$

2. Empezamos por la tercera coordenada. Solo el tercer vector aporta ahí, así que $\gamma = c$ queda determinado de entrada.

3. Seguimos con la segunda. $\beta + \gamma = b$, de donde $\beta = b - c$.

4. Terminamos con la primera. $\alpha + \gamma = a$, de donde $\alpha = a - c$.

5. Concluimos. Para cualquier $(a; b; c)$ hay coeficientes, así que el conjunto genera $\mathbb{R}^3$.

6. Verificamos con un caso. Con $(0; 0; 1)$ da $\gamma = 1$, $\beta = -1$ y $\alpha = -1$, y en efecto $-(1;0;0) - (0;1;0) + (1;1;1) = (0; 0; 1)$.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^3$

2. Comparamos los vectores entre sí. $(2; 2; 2) = 2(1; 1; 1)$ y $(3; 3; 3) = 3(1; 1; 1)$: los tres son múltiplos del mismo vector.

3. Escribimos qué se puede obtener. Toda combinación es $(\alpha + 2\beta + 3\gamma)(1; 1; 1)$: siempre un múltiplo de $(1; 1; 1)$, con las tres coordenadas iguales.

4. Buscamos un contraejemplo. $(1; 0; 0)$ no tiene las tres coordenadas iguales, así que no se alcanza.

5. Concluimos. No genera $\mathbb{R}^3$: genera solo la recta de $(1; 1; 1)$, de dimensión $1$.

6. Señalamos el error típico. Contar vectores no dice nada por sí solo. Tres vectores pueden generar una recta, un plano o todo el espacio, según cuán independientes sean.

Respuesta: no genera $\mathbb{R}^3$: los tres son múltiplos de $(1; 1; 1)$ y generan solo esa recta

2. Armamos la matriz. Ponemos los tres vectores como filas: $\begin{bmatrix}4 & -1 & -3 \\ -4 & -3 & -1 \\ 3 & -1 & 3\end{bmatrix}$.

3. Calculamos el determinante. $\det = -88$, distinto de cero.

4. Concluimos. Los tres vectores son independientes, así que generan todo $\mathbb{R}^3$ y además forman una base.

5. Observamos. Con exactamente tantos vectores como la dimensión, generar e independencia son equivalentes: si pasa una, pasa la otra.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^3$

2. Concluimos sobre la generación. Dos vectores independientes en $\mathbb{R}^2$ ya generan todo el plano, así que el conjunto genera $\mathbb{R}^2$.

3. Contamos. Son tres vectores en un espacio de dimensión $2$: uno tiene que ser combinación de los otros.

4. Exhibimos la dependencia. $(5; 6) = 2(3; 4) - (1; 2)$, porque $2 \cdot 3 - 1 = 5$ y $2 \cdot 4 - 2 = 6$.

5. Concluimos sobre la base. No es base: genera, pero sobra un vector.

6. Señalamos qué habría que hacer. Para obtener una base alcanza con descartar el tercero y quedarse con $\{(1; 2), (3; 4)\}$.

Respuesta: sí genera $\mathbb{R}^2$, pero no es base: $(5; 6) = 2(3; 4) - (1; 2)$