Ejercicios: Combinación lineal

w = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \dots + a_{n}v_{n}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá la combinación lineal $3u + v$ con $u = (3; 1; 3)$ y $v = (-5; 3; 5)$ .

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1. Recordamos la definición. Una combinación lineal es multiplicar cada vector por un número y sumar todo.

2. Multiplicamos cada vector. $3u = (9; 3; 9)$ y $v = (-5; 3; 5)$

3. Sumamos componente a componente. El resultado es $(4; 6; 14)$ .

4. Observamos. Toda combinación lineal de vectores de un subespacio queda dentro del subespacio. Esa es justamente la propiedad que los define.

Respuesta: la combinación lineal vale $(4; 6; 14)$

2. Decidí si $w = (9; 15; 3)$ es combinación lineal de $u = (3; 1; 0)$ y $v = (0; 4; 1)$ .

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1. Planteamos la pregunta. Buscamos números $\alpha$ y $\beta$ tales que $\alpha u + \beta v = w$ .

2. Escribimos el sistema. $\alpha \cdot 3 = 9$ , $\alpha \cdot 1 + \beta \cdot 4 = 15$ , $\beta \cdot 1 = 3$

3. Despejamos de las ecuaciones más simples. De la primera sale $\alpha = 3$ y de la tercera $\beta = 3$ .

4. Verificamos con la ecuación del medio. $(3)(1) + (3)(4) = 15$ , que se cumple.

5. Concluimos. Sí es combinación lineal: $w = 3u + 3v$ .

Respuesta: sí, con $w = 3u + 3v$

3. Decidí si $w = (1; 0; 0)$ es combinación lineal de $u = (1; 1; 0)$ y $v = (2; 2; 0)$ .

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1. Miramos primero los generadores. $v$ es el doble de $u$ , así que las combinaciones de los dos son todas múltiplos de $u$ .

2. Escribimos qué se puede obtener. Toda combinación tiene la forma $t(1; 1; 0)$ , o sea con las dos primeras componentes iguales.

3. Comparamos con $w$ . $w = (1; 0; 0)$ tiene primera componente $1$ y segunda $0$ : no son iguales.

4. Concluimos. $w$ no es combinación lineal de $u$ y $v$ .

5. Observamos. Tener dos vectores no garantiza generar un plano. Si uno es múltiplo del otro, entre los dos generan solo una recta.

Respuesta: no es combinación lineal de esos dos vectores

4. Describí el conjunto de todas las combinaciones lineales de $u = (6; -5; 4)$ solo.

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1. Escribimos las combinaciones posibles. Con un solo vector, toda combinación lineal es de la forma $t\,(6; -5; 4)$ .

2. Identificamos el conjunto. Es el conjunto de todos los múltiplos de $u$ .

3. Le damos nombre. Se llama subespacio generado por $u$ , y se escribe $\operatorname{gen}\{u\}$ .

4. Lo describimos geométricamente. Es la recta que pasa por el origen con dirección $(6; -5; 4)$ , de dimensión $1$ .

5. Observamos. El conjunto de todas las combinaciones lineales de cualquier conjunto de vectores siempre es un subespacio.

Respuesta: es la recta de todos los múltiplos de $(6; -5; 4)$ , un subespacio de dimensión $1$

5. Calculá la combinación lineal $-3u - 4v$ con $u = (4; -4; -2)$ y $v = (2; -3; -4)$ .

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1. Recordamos la definición. Una combinación lineal es multiplicar cada vector por un número y sumar todo.

2. Multiplicamos cada vector. $-3u = (-12; 12; 6)$ y $-4v = (-8; 12; 16)$

3. Sumamos componente a componente. El resultado es $(-20; 24; 22)$ .

4. Observamos. Toda combinación lineal de vectores de un subespacio queda dentro del subespacio. Esa es justamente la propiedad que los define.

Respuesta: la combinación lineal vale $(-20; 24; 22)$

6. Decidí si $w = (3; 1; -2)$ es combinación lineal de $u = (3; 3; 0)$ y $v = (0; 2; 2)$ .

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1. Planteamos la pregunta. Buscamos números $\alpha$ y $\beta$ tales que $\alpha u + \beta v = w$ .

2. Escribimos el sistema. $\alpha \cdot 3 = 3$ , $\alpha \cdot 3 + \beta \cdot 2 = 1$ , $\beta \cdot 2 = -2$

3. Despejamos de las ecuaciones más simples. De la primera sale $\alpha = 1$ y de la tercera $\beta = -1$ .

4. Verificamos con la ecuación del medio. $(1)(3) + (-1)(2) = 1$ , que se cumple.

5. Concluimos. Sí es combinación lineal: $w = u - v$ .

Respuesta: sí, con $w = u - v$

7. Decidí si $w = (3; 3; 0)$ es combinación lineal de $u = (1; 1; 0)$ y $v = (2; 2; 0)$ , y en caso afirmativo escribí una combinación.

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1. Miramos los generadores. $v = 2u$ , así que todo lo que generan entre los dos son los múltiplos de $u$ .

2. Comparamos con $w$ . $w = (3; 3; 0) = 3(1; 1; 0) = 3u$ : es un múltiplo de $u$ .

3. Escribimos una combinación. $w = 3u + 0v$ .

4. Mostramos que no es la única. También vale $w = u + v$ , porque $u + 2u = 3u$ . Y $w = 5u - v$ también funciona.

5. Concluimos. Sí es combinación lineal, y de infinitas formas distintas.

6. Explicamos la diferencia con el caso anterior. Que los generadores sean dependientes no impide que un vector sea combinación de ellos. Lo que impide es que los coeficientes sean únicos.

Respuesta: sí es combinación lineal: por ejemplo $w = 3u$ , y la escritura no es única

8. Describí el conjunto de todas las combinaciones lineales de $u = (-1; 3; -6)$ solo.

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1. Escribimos las combinaciones posibles. Con un solo vector, toda combinación lineal es de la forma $t\,(-1; 3; -6)$ .

2. Identificamos el conjunto. Es el conjunto de todos los múltiplos de $u$ .

3. Le damos nombre. Se llama subespacio generado por $u$ , y se escribe $\operatorname{gen}\{u\}$ .

4. Lo describimos geométricamente. Es la recta que pasa por el origen con dirección $(-1; 3; -6)$ , de dimensión $1$ .

5. Observamos. El conjunto de todas las combinaciones lineales de cualquier conjunto de vectores siempre es un subespacio.

Respuesta: es la recta de todos los múltiplos de $(-1; 3; -6)$ , un subespacio de dimensión $1$

9. Calculá la combinación lineal $u + 2v$ con $u = (5; 2; 5)$ y $v = (-2; -4; -5)$ .

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1. Recordamos la definición. Una combinación lineal es multiplicar cada vector por un número y sumar todo.

2. Multiplicamos cada vector. $u = (5; 2; 5)$ y $2v = (-4; -8; -10)$

3. Sumamos componente a componente. El resultado es $(1; -6; -5)$ .

4. Observamos. Toda combinación lineal de vectores de un subespacio queda dentro del subespacio. Esa es justamente la propiedad que los define.

Respuesta: la combinación lineal vale $(1; -6; -5)$

10. Decidí si $w = (-1; -5; -12)$ es combinación lineal de $u = (1; 2; 0)$ y $v = (0; 1; 4)$ .

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1. Planteamos la pregunta. Buscamos números $\alpha$ y $\beta$ tales que $\alpha u + \beta v = w$ .

2. Escribimos el sistema. $\alpha \cdot 1 = -1$ , $\alpha \cdot 2 + \beta \cdot 1 = -5$ , $\beta \cdot 4 = -12$

3. Despejamos de las ecuaciones más simples. De la primera sale $\alpha = -1$ y de la tercera $\beta = -3$ .

4. Verificamos con la ecuación del medio. $(-1)(2) + (-3)(1) = -5$ , que se cumple.

5. Concluimos. Sí es combinación lineal: $w = -u - 3v$ .

Respuesta: sí, con $w = -u - 3v$

11. Decidí si $w = (2; 4; 7)$ es combinación lineal de $u = (1; 2; 0)$ y $v = (0; 0; 1)$ , y en caso afirmativo escribí la combinación.

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1. Planteamos la ecuación. Buscamos $\alpha$ y $\beta$ con $\alpha(1; 2; 0) + \beta(0; 0; 1) = (2; 4; 7)$ .

2. Igualamos coordenada a coordenada. Primera: $\alpha = 2$ . Segunda: $2\alpha = 4$ . Tercera: $\beta = 7$ .

3. Verificamos la consistencia. De la primera sale $\alpha = 2$ , y la segunda queda $2 \cdot 2 = 4$ , que se cumple. No hay contradicción.

4. Escribimos la combinación. $w = 2u + 7v$ .

5. Verificamos. $2(1; 2; 0) + 7(0; 0; 1) = (2; 4; 0) + (0; 0; 7) = (2; 4; 7)$ .

6. Observamos. Acá $u$ y $v$ son independientes, así que los coeficientes $2$ y $7$ son los únicos que funcionan.

Respuesta: sí es combinación lineal: $w = 2u + 7v$

12. Describí el conjunto de todas las combinaciones lineales de $u = (-4; 1; -2)$ solo.

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1. Escribimos las combinaciones posibles. Con un solo vector, toda combinación lineal es de la forma $t\,(-4; 1; -2)$ .

2. Identificamos el conjunto. Es el conjunto de todos los múltiplos de $u$ .

3. Le damos nombre. Se llama subespacio generado por $u$ , y se escribe $\operatorname{gen}\{u\}$ .

4. Lo describimos geométricamente. Es la recta que pasa por el origen con dirección $(-4; 1; -2)$ , de dimensión $1$ .

5. Observamos. El conjunto de todas las combinaciones lineales de cualquier conjunto de vectores siempre es un subespacio.

Respuesta: es la recta de todos los múltiplos de $(-4; 1; -2)$ , un subespacio de dimensión $1$

Integradores de Espacios vectoriales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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