Combinación lineal

Una combinación lineal de un conjunto de vectores es lo que se obtiene multiplicando cada uno por un número y sumando todo.

Es la operación básica del volumen, y casi todas las definiciones que vienen después se apoyan en ella.

La pregunta típica es si un vector dado se puede escribir como combinación lineal de otros. Para responderla se plantea la igualdad con coeficientes desconocidos y se resuelve el sistema que queda.

Si el sistema tiene solución, la respuesta es sí y los coeficientes son la solución. Si es incompatible, la respuesta es no.

El sistema puede tener solución única o infinitas. Que tenga infinitas significa que hay varias formas de escribir el mismo vector, y eso pasa cuando los vectores del conjunto son dependientes.

El vector nulo siempre es combinación lineal de cualquier conjunto, tomando todos los coeficientes iguales a cero. Esa combinación se llama trivial y aparece en la definición de independencia lineal.

w = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + \dots + a_{n}v_{n}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta si un vector pertenece al conjunto generado por otros. Planteá la igualdad con coeficientes incógnita y resolvé el sistema.

Ejemplo 1

Decidir si $(7, 4)$ es combinación lineal de $(1, 2)$ y $(3, 1)$ .

Planteamos la igualdad. $a(1, 2) + b(3, 1) = (7, 4)$ .
La abrimos en dos ecuaciones. Primera componente: $a + 3b = 7$ . Segunda: $2a + b = 4$ .
Resolvemos el sistema. De la segunda $b = 4 - 2a$ , y reemplazando queda $a + 12 - 6a = 7$ , o sea $a = 1$ y $b = 2$ . Verificamos: $(1, 2) + 2(3, 1) = (7, 4)$ .
Respuesta: sí, con $a = 1$ y $b = 2$

Ejemplo 2

Decidir si $(1, 0, 0)$ es combinación lineal de $(1, 1, 0)$ y $(0, 1, 1)$ .

Planteamos y abrimos. $a(1, 1, 0) + b(0, 1, 1) = (1, 0, 0)$ da tres ecuaciones: $a = 1$ , $a + b = 0$ y $b = 0$ .
Buscamos la contradicción. De la primera $a = 1$ y de la tercera $b = 0$ , pero entonces la segunda daría $1 \neq 0$ .
Concluimos. El sistema es incompatible, así que no es combinación lineal de esos dos.
Respuesta: no lo es

Error típico

Plantear el sistema mezclando las componentes. Cada componente da una ecuación distinta, y hay tantas ecuaciones como componentes tengan los vectores, no como vectores haya.

Practicar

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