Coordenadas en una base

Las coordenadas de un vector en una base son los coeficientes con los que se escribe como combinación lineal de esa base.

Como la base es independiente, esos coeficientes son únicos. Esa unicidad es lo que permite identificar cualquier vector con una lista de números.

Para calcularlas se plantea la combinación lineal igualada al vector y se resuelve el sistema. Los coeficientes que salen son las coordenadas.

El orden de la base importa. Si se cambian de lugar dos vectores de la base, las coordenadas se intercambian. Por eso se habla de base ordenada.

Un mismo vector tiene coordenadas distintas en bases distintas, y eso confunde al principio. El vector es siempre el mismo objeto: lo que cambia es la forma de describirlo.

En la base canónica las coordenadas coinciden con las componentes del vector, y por eso ahí la distinción parece innecesaria. En cualquier otra base se ve la diferencia.

[v]ᴮ

= (a_{1}, \dots, a_{n})

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide las coordenadas en una base que no es la canónica. Planteá la combinación lineal igualada al vector y resolvé el sistema. Respetá el orden de la base.

Ejemplo 1

Hallar las coordenadas de $v = (3, 4)$ en la base $B = {(2, 1), (-1, 2)}$ .

Planteamos la combinación. $a(2, 1) + b(-1, 2) = (3, 4)$ .
Abrimos en dos ecuaciones. $2a - b = 3$ y $a + 2b = 4$ .
Resolvemos y contestamos. De la primera $b = 2a - 3$ , y reemplazando queda $a + 4a - 6 = 4$ , o sea $a = 2$ y $b = 1$ . Las coordenadas son $(2, 1)$ .
Respuesta: $[v]^{B} = (2, 1)$

Ejemplo 2

Hallar las coordenadas de $p = 3x^{2} + 2$ en la base canónica de $P_{2}$ .

Escribimos la base canónica. Es ${x^{2}, x, 1}$ , en ese orden.
Escribimos el polinomio con todos sus términos. $3x^{2}x + 2$ .
Leemos los coeficientes. Las coordenadas son $(3, 0, 2)$ . En la base canónica las coordenadas son directamente los coeficientes.
Respuesta: $(3, 0, 2)$

Error típico

Contestar con el vector en lugar de con sus coordenadas. Las coordenadas son los escalares de la combinación, no el resultado. En el ejemplo, la respuesta es $(2, 1) y$ no $(3, 4)$ .

Practicar

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