Método

Ejercicios: Coordenadas en una base

[v]ᴮ =(a1,…,an)= (a_{1}, \dots, a_{n})

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá las coordenadas de v=(2;−6;−5)v = (2; -6; -5) en la base canónica de R3\mathbb{R}^3.

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1. Recordamos qué son las coordenadas. Son los coeficientes con los que el vector se escribe como combinación lineal de la base.

2. Escribimos la combinación. (2;−6;−5)=2(1;0;0)−6(0;1;0)−5(0;0;1)(2; -6; -5) = 2(1; 0; 0) - 6(0; 1; 0) - 5(0; 0; 1)

3. Leemos los coeficientes. Las coordenadas son (2;−6;−5)(2; -6; -5).

4. Observamos. En la base canónica las coordenadas coinciden con las componentes. Esa es su ventaja, y por eso es la que se usa por defecto.

5. Advertimos. En cualquier otra base las coordenadas son distintas de las componentes, y confundirlas es el error más común del tema.

Respuesta: las coordenadas son (2;−6;−5)(2; -6; -5)

2. Hallá las coordenadas de v=(−2;4)v = (-2; 4) en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Planteamos la combinación. Buscamos α\alpha y β\beta con α(1;1)+β(1;−1)=(−2;4)\alpha(1; 1) + \beta(1; -1) = (-2; 4).

2. Escribimos el sistema. α+β=−2\alpha + \beta = -2 y α−β=4\alpha - \beta = 4

3. Resolvemos. Sumando las dos ecuaciones: 2α=22\alpha = 2, de donde α=1\alpha = 1. Y restando: β=−3\beta = -3.

4. Escribimos las coordenadas. [v]B=(1;−3)[v]_B = (1; -3)

5. Verificamos. 1(1;1)−3(1;−1)=(−2;4)1(1; 1) - 3(1; -1) = (-2; 4)

Respuesta: [v]B=(1;−3)[v]_B = (1; -3)

3. Un vector tiene coordenadas (3;3)(3; 3) en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}. Hallá el vector en la base canónica.

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1. Entendemos qué se pide. Es el problema inverso: teniendo las coordenadas hay que reconstruir el vector.

2. Escribimos la combinación. v=3(1;1)+3(1;−1)v = 3(1; 1) + 3(1; -1)

3. Multiplicamos. 3(1;1)=(3;3)3(1; 1) = (3; 3) y 3(1;−1)=(3;−3)3(1; -1) = (3; -3)

4. Sumamos. v=(6;0)v = (6; 0)

5. Observamos. Reconstruir el vector es más fácil que hallar las coordenadas: es una cuenta directa, no un sistema.

Respuesta: v=(6;0)v = (6; 0)

4. Explicá por qué las coordenadas de un vector en una base son únicas.

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1. Suponemos que hubiera dos. Si vv tuviera dos escrituras distintas en la misma base, restándolas se obtendría una combinación de los vectores de la base que da el nulo.

2. Miramos los coeficientes de esa combinación. Serían las diferencias entre los coeficientes de las dos escrituras, y al menos uno sería distinto de cero si las escrituras fueran distintas.

3. Usamos la independencia. Pero los vectores de una base son linealmente independientes, así que la única combinación que da el nulo es la que tiene todos los coeficientes en cero.

4. Concluimos. Todas las diferencias son cero, así que las dos escrituras eran la misma. Las coordenadas son únicas.

5. Observamos. Esa unicidad es lo que hace útiles a las bases: permiten identificar cada vector con una lista de números sin ambigüedad.

Respuesta: porque la base es linealmente independiente, y eso obliga a que la escritura sea única

5. Hallá las coordenadas de v=(−5;1;3)v = (-5; 1; 3) en la base canónica de R3\mathbb{R}^3.

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1. Recordamos qué son las coordenadas. Son los coeficientes con los que el vector se escribe como combinación lineal de la base.

2. Escribimos la combinación. (−5;1;3)=−5(1;0;0)+(0;1;0)+3(0;0;1)(-5; 1; 3) = -5(1; 0; 0) + (0; 1; 0) + 3(0; 0; 1)

3. Leemos los coeficientes. Las coordenadas son (−5;1;3)(-5; 1; 3).

4. Observamos. En la base canónica las coordenadas coinciden con las componentes. Esa es su ventaja, y por eso es la que se usa por defecto.

5. Advertimos. En cualquier otra base las coordenadas son distintas de las componentes, y confundirlas es el error más común del tema.

Respuesta: las coordenadas son (−5;1;3)(-5; 1; 3)

6. Hallá las coordenadas de v=(−3;−1)v = (-3; -1) en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Planteamos la combinación. Buscamos α\alpha y β\beta con α(1;1)+β(1;−1)=(−3;−1)\alpha(1; 1) + \beta(1; -1) = (-3; -1).

2. Escribimos el sistema. α+β=−3\alpha + \beta = -3 y α−β=−1\alpha - \beta = -1

3. Resolvemos. Sumando las dos ecuaciones: 2α=−42\alpha = -4, de donde α=−2\alpha = -2. Y restando: β=−1\beta = -1.

4. Escribimos las coordenadas. [v]B=(−2;−1)[v]_B = (-2; -1)

5. Verificamos. −2(1;1)−1(1;−1)=(−3;−1)-2(1; 1) - 1(1; -1) = (-3; -1)

Respuesta: [v]B=(−2;−1)[v]_B = (-2; -1)

7. Un vector tiene coordenadas (2;3)(2; 3) en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}. Hallá el vector en la base canónica.

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1. Entendemos qué se pide. Es el problema inverso: teniendo las coordenadas hay que reconstruir el vector.

2. Escribimos la combinación. v=2(1;1)+3(1;−1)v = 2(1; 1) + 3(1; -1)

3. Multiplicamos. 2(1;1)=(2;2)2(1; 1) = (2; 2) y 3(1;−1)=(3;−3)3(1; -1) = (3; -3)

4. Sumamos. v=(5;−1)v = (5; -1)

5. Observamos. Reconstruir el vector es más fácil que hallar las coordenadas: es una cuenta directa, no un sistema.

Respuesta: v=(5;−1)v = (5; -1)

8. Demostrá que las coordenadas de una suma son la suma de las coordenadas, trabajando en una base BB fija.

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1. Escribimos las coordenadas de cada vector. Si vv tiene coordenadas (α1;… ;αn)(\alpha_1; \dots; \alpha_n), entonces v=α1b1+⋯+αnbnv = \alpha_1 b_1 + \dots + \alpha_n b_n. Lo mismo para ww con (β1;… ;βn)(\beta_1; \dots; \beta_n).

2. Sumamos las dos escrituras. v+w=(α1b1+… )+(β1b1+… )v + w = (\alpha_1 b_1 + \dots) + (\beta_1 b_1 + \dots).

3. Agrupamos por vector de la base. v+w=(α1+β1)b1+⋯+(αn+βn)bnv + w = (\alpha_1 + \beta_1)b_1 + \dots + (\alpha_n + \beta_n)b_n.

4. Leemos las coordenadas. Esa es una escritura de v+wv + w en la base BB, con coeficientes αi+βi\alpha_i + \beta_i.

5. Usamos la unicidad. Como las coordenadas en una base son únicas, esas son las coordenadas de v+wv + w: la suma de las coordenadas.

6. Sacamos la consecuencia. Tomar coordenadas respeta la suma y, con el mismo razonamiento, el producto por escalares. Por eso se puede trabajar con listas de números en lugar de con los vectores originales.

Respuesta: las coordenadas de v+wv + w son la suma coordenada a coordenada, porque los coeficientes se agrupan y la escritura es única

9. Hallá las coordenadas de v=(−6;5;2)v = (-6; 5; 2) en la base canónica de R3\mathbb{R}^3.

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1. Recordamos qué son las coordenadas. Son los coeficientes con los que el vector se escribe como combinación lineal de la base.

2. Escribimos la combinación. (−6;5;2)=−6(1;0;0)+5(0;1;0)+2(0;0;1)(-6; 5; 2) = -6(1; 0; 0) + 5(0; 1; 0) + 2(0; 0; 1)

3. Leemos los coeficientes. Las coordenadas son (−6;5;2)(-6; 5; 2).

4. Observamos. En la base canónica las coordenadas coinciden con las componentes. Esa es su ventaja, y por eso es la que se usa por defecto.

5. Advertimos. En cualquier otra base las coordenadas son distintas de las componentes, y confundirlas es el error más común del tema.

Respuesta: las coordenadas son (−6;5;2)(-6; 5; 2)

10. Hallá las coordenadas de v=(1;−3)v = (1; -3) en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Planteamos la combinación. Buscamos α\alpha y β\beta con α(1;1)+β(1;−1)=(1;−3)\alpha(1; 1) + \beta(1; -1) = (1; -3).

2. Escribimos el sistema. α+β=1\alpha + \beta = 1 y α−β=−3\alpha - \beta = -3

3. Resolvemos. Sumando las dos ecuaciones: 2α=−22\alpha = -2, de donde α=−1\alpha = -1. Y restando: β=2\beta = 2.

4. Escribimos las coordenadas. [v]B=(−1;2)[v]_B = (-1; 2)

5. Verificamos. −1(1;1)+2(1;−1)=(1;−3)-1(1; 1) + 2(1; -1) = (1; -3)

Respuesta: [v]B=(−1;2)[v]_B = (-1; 2)

11. Un vector tiene coordenadas (−3;2)(-3; 2) en la base B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}. Hallá el vector en la base canónica.

Ver solución

1. Entendemos qué se pide. Es el problema inverso: teniendo las coordenadas hay que reconstruir el vector.

2. Escribimos la combinación. v=−3(1;1)+2(1;−1)v = -3(1; 1) + 2(1; -1)

3. Multiplicamos. −3(1;1)=(−3;−3)-3(1; 1) = (-3; -3) y 2(1;−1)=(2;−2)2(1; -1) = (2; -2)

4. Sumamos. v=(−1;−5)v = (-1; -5)

5. Observamos. Reconstruir el vector es más fácil que hallar las coordenadas: es una cuenta directa, no un sistema.

Respuesta: v=(−1;−5)v = (-1; -5)

12. Explicá por qué en la base canónica las coordenadas coinciden con las componentes del vector, y qué cambia en otra base.

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1. Escribimos la base canónica. En R3\mathbb{R}^3 es {(1;0;0),(0;1;0),(0;0;1)}\{(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)\}.

2. Escribimos un vector cualquiera. (a;b;c)=a(1;0;0)+b(0;1;0)+c(0;0;1)(a; b; c) = a(1;0;0) + b(0;1;0) + c(0;0;1).

3. Leemos los coeficientes. Son exactamente aa, bb y cc: las mismas componentes del vector.

4. Vemos qué pasa en otra base. Con B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}, el vector (4;2)(4; 2) tiene coordenadas (3;1)(3; 1), porque 3(1;1)+1(1;−1)=(4;2)3(1;1) + 1(1;-1) = (4; 2).

5. Marcamos la diferencia. Ahí las coordenadas (3;1)(3; 1) no se parecen a las componentes (4;2)(4; 2). Hay que resolver un sistema para encontrarlas.

6. Sacamos la conclusión. La coincidencia entre coordenadas y componentes es una comodidad de la base canónica, no una propiedad general. En cualquier otra base son cosas distintas y conviene aclarar siempre respecto de qué base se está hablando.

Respuesta: coinciden solo en la base canónica, porque sus vectores tienen un 11 en un lugar y ceros en el resto

Integradores de Espacios vectoriales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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