Método

Ejercicios: Cambio de base

v=P⋅[v]v = P \cdot [v]ᴮ

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la matriz de cambio de base de B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\} a la base canónica de R2\mathbb{R}^2.

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1. Recordamos cómo se arma. La matriz de cambio de base a la canónica tiene por columnas a los vectores de la base de partida, escritos en la canónica.

2. Escribimos las columnas. La primera columna es (1;1)(1; 1) y la segunda es (1;−1)(1; -1).

3. Armamos la matriz. P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}

4. Explicamos cómo se usa. Multiplicando PP por el vector de coordenadas en BB se obtienen las coordenadas en la canónica.

5. Verificamos. Con coordenadas (1;0)(1; 0) en BB, el producto da (1;1)(1; 1), que es efectivamente el primer vector de BB.

Respuesta: P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}

2. Con la matriz de cambio P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix} de BB a la canónica, hallá la matriz que va de la canónica a BB.

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1. Planteamos la relación. El cambio en sentido contrario se hace con la matriz inversa.

2. Verificamos que exista. det⁡(P)=−2≠0\det(P) = -2 \neq 0, así que la inversa existe. Siempre existe, porque las columnas son una base y por lo tanto independientes.

3. Calculamos la inversa. P−1=[121212−12]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{bmatrix}

4. Explicamos cómo se usa. Multiplicando P−1P^{-1} por las coordenadas canónicas de un vector se obtienen sus coordenadas en BB.

5. Observamos. Las dos matrices son inversas una de la otra, lo que refleja que los dos cambios son operaciones opuestas.

Respuesta: P−1=[121212−12]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{bmatrix}

3. Usando la matriz de cambio de base, hallá las coordenadas de v=(0;−6)v = (0; -6) en B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Armamos la matriz de BB a la canónica. P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}

2. Vemos qué dirección necesitamos. Tenemos las coordenadas canónicas y queremos las de BB, así que hay que usar la inversa.

3. Calculamos la inversa. P−1=[121212−12]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{bmatrix}

4. Multiplicamos. [v]B=P−1[0−6]=[−33][v]_B = P^{-1} \begin{bmatrix}0 \\ -6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3 \\ 3\end{bmatrix}

5. Verificamos. −3(1;1)+3(1;−1)=(0;−6)-3(1; 1) + 3(1; -1) = (0; -6)

Respuesta: [v]B=(−3;3)[v]_B = (-3; 3)

4. Explicá por qué la matriz de cambio de base siempre es inversible.

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1. Miramos cómo está armada. Sus columnas son los vectores de una base, escritos en otra base.

2. Usamos la propiedad de las bases. Los vectores de una base son linealmente independientes por definición.

3. Conectamos con el rango. Si las columnas son independientes, el rango de la matriz es máximo.

4. Concluimos. Rango máximo en una matriz cuadrada significa determinante no nulo, o sea que es inversible.

5. Interpretamos. Tiene sentido: si el cambio no se pudiera deshacer, se perdería información al pasar de una base a otra.

Respuesta: porque sus columnas son una base, y por lo tanto son linealmente independientes

5. Hallá la matriz de cambio de base de B={(2;0),(1;3)}B = \{(2; 0), (1; 3)\} a la base canónica de R2\mathbb{R}^2.

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1. Recordamos cómo se arma. Las columnas son los vectores de BB escritos en la base de llegada, que acá es la canónica.

2. Escribimos las columnas. Primera columna (2;0)(2; 0), segunda columna (1;3)(1; 3).

3. Armamos la matriz. P=[2103]P = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

4. Verificamos con un vector. Un vector de coordenadas (1;2)(1; 2) en BB es 1(2;0)+2(1;3)=(4;6)1(2; 0) + 2(1; 3) = (4; 6), y el producto de PP por (1;2)(1; 2) da lo mismo.

5. Miramos el determinante. det⁡(P)=6≠0\det(P) = 6 \neq 0, como tiene que pasar siempre: las columnas son una base.

6. Observamos. La matriz es triangular porque el primer vector de BB no tiene segunda componente. Eso no es la regla general, es una casualidad de esta base.

Respuesta: P=[2103]P = \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

6. Con la matriz de cambio P=[1201]P = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix} de BB a la canónica, hallá la matriz que va de la canónica a BB.

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1. Planteamos la relación. El cambio en sentido contrario se hace con la matriz inversa.

2. Verificamos que exista. det⁡(P)=1≠0\det(P) = 1 \neq 0, así que la inversa existe. Siempre existe, porque las columnas son una base y por lo tanto independientes.

3. Calculamos la inversa. P−1=[1−201]P^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

4. Explicamos cómo se usa. Multiplicando P−1P^{-1} por las coordenadas canónicas de un vector se obtienen sus coordenadas en BB.

5. Verificamos el producto. P⋅P−1=[1001]P \cdot P^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, la identidad: hacer el cambio y deshacerlo deja todo igual.

Respuesta: P−1=[1−201]P^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

7. Usando la matriz de cambio de base, hallá las coordenadas de v=(−5;−1)v = (-5; -1) en B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Armamos la matriz de BB a la canónica. P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}

2. Vemos qué dirección necesitamos. Tenemos las coordenadas canónicas y queremos las de BB, así que hay que usar la inversa.

3. Calculamos la inversa. P−1=[121212−12]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{bmatrix}

4. Multiplicamos. [v]B=P−1[−5−1]=[−3−2][v]_B = P^{-1} \begin{bmatrix}-5 \\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3 \\ -2\end{bmatrix}

5. Verificamos. −3(1;1)−2(1;−1)=(−5;−1)-3(1; 1) - 2(1; -1) = (-5; -1)

Respuesta: [v]B=(−3;−2)[v]_B = (-3; -2)

8. Demostrá que la matriz de cambio de BB a CC y la de CC a BB son inversas una de la otra.

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1. Nombramos las matrices. Sea PP la que lleva coordenadas en BB a coordenadas en CC, y QQ la que hace el camino inverso.

2. Aplicamos las dos seguidas. Partimos de un vector con coordenadas XX en BB. Aplicando PP quedan sus coordenadas en CC, y aplicando QQ a eso volvemos a sus coordenadas en BB.

3. Escribimos la igualdad. QPX=XQPX = X para todo XX, porque ir y volver deja al vector donde estaba.

4. Sacamos la conclusión sobre el producto. Una matriz que deja fijo a todo vector es la identidad, así que QP=IQP = I.

5. Hacemos el camino simétrico. Aplicando primero QQ y después PP se obtiene PQ=IPQ = I por el mismo argumento.

6. Concluimos. Q=P−1Q = P^{-1}. Por eso alcanza con calcular una de las dos: la otra sale invirtiendo.

Respuesta: son inversas: aplicar una y después la otra devuelve las coordenadas originales, así que su producto es la identidad

9. Hallá la matriz de cambio de base de B={(1;0;0),(1;1;0),(1;1;1)}B = \{(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)\} a la base canónica de R3\mathbb{R}^3.

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1. Recordamos cómo se arma. Cada columna es uno de los vectores de BB, en el orden en que aparecen.

2. Escribimos las columnas. Primera (1;0;0)(1; 0; 0), segunda (1;1;0)(1; 1; 0), tercera (1;1;1)(1; 1; 1).

3. Armamos la matriz. P=[111011001]P = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

4. Verificamos con un vector. Coordenadas (2;−1;3)(2; -1; 3) en BB dan 2(1;0;0)−(1;1;0)+3(1;1;1)=(4;2;3)2(1;0;0) - (1;1;0) + 3(1;1;1) = (4; 2; 3), que es lo que devuelve el producto.

5. Miramos el determinante. La matriz es triangular superior con unos en la diagonal, así que su determinante es 11, distinto de cero.

6. Observamos. El orden de los vectores importa: cambiarlo cambia las columnas y da otra matriz, aunque la base sea la misma.

Respuesta: P=[111011001]P = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

10. Con la matriz de cambio P=[2003]P = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix} de BB a la canónica, hallá la matriz que va de la canónica a BB.

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1. Planteamos la relación. El cambio en sentido contrario se hace con la matriz inversa.

2. Verificamos que exista. det⁡(P)=6≠0\det(P) = 6 \neq 0, así que la inversa existe. Siempre existe, porque las columnas son una base y por lo tanto independientes.

3. Calculamos la inversa. P−1=[120013]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}\end{bmatrix}

4. Explicamos cómo se usa. Multiplicando P−1P^{-1} por las coordenadas canónicas de un vector se obtienen sus coordenadas en BB.

5. Observamos el caso diagonal. Cuando PP es diagonal, la inversa es la diagonal de los inversos de cada elemento. Es el único caso donde se puede escribir de memoria.

Respuesta: P−1=[120013]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}\end{bmatrix}

11. Usando la matriz de cambio de base, hallá las coordenadas de v=(5;−1)v = (5; -1) en B={(1;1),(1;−1)}B = \{(1; 1), (1; -1)\}.

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1. Armamos la matriz de BB a la canónica. P=[111−1]P = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{bmatrix}

2. Vemos qué dirección necesitamos. Tenemos las coordenadas canónicas y queremos las de BB, así que hay que usar la inversa.

3. Calculamos la inversa. P−1=[121212−12]P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\end{bmatrix}

4. Multiplicamos. [v]B=P−1[5−1]=[23][v]_B = P^{-1} \begin{bmatrix}5 \\ -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}

5. Verificamos. 2(1;1)+3(1;−1)=(5;−1)2(1; 1) + 3(1; -1) = (5; -1)

Respuesta: [v]B=(2;3)[v]_B = (2; 3)

12. Explicá por qué las columnas de la matriz de cambio de BB a la base canónica son directamente los vectores de BB.

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1. Recordamos qué hace la matriz. Toma las coordenadas de un vector en BB y devuelve sus coordenadas en la canónica.

2. Probamos con el primer vector de la base. El primer vector de BB tiene coordenadas (1;0;… ;0)(1; 0; \dots; 0) en BB, porque es una vez él mismo y cero veces los demás.

3. Miramos qué devuelve el producto. Multiplicar una matriz por (1;0;… ;0)(1; 0; \dots; 0) devuelve exactamente su primera columna.

4. Igualamos. Esa primera columna tiene que ser el primer vector de BB escrito en la canónica.

5. Repetimos con los demás. Con (0;1;0;… )(0; 1; 0; \dots) sale la segunda columna, y así sucesivamente.

6. Concluimos. Cada columna es un vector de BB en coordenadas canónicas. Por eso armar esta matriz no requiere ninguna cuenta: se copian los vectores como columnas.

Respuesta: porque el ii-ésimo vector de BB tiene coordenadas con un 11 en el lugar ii, y multiplicar por eso devuelve la columna ii

Integradores de Espacios vectoriales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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