Ejercicios: Espacio fila, columna y nulo

2. Calculamos el rango. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que $\det = 0$ y el rango es $2$.

3. Aplicamos el teorema. La dimensión del espacio fila y la del espacio columna siempre coinciden, y las dos son iguales al rango.

4. Escribimos el resultado. Las dos dimensiones valen $2$.

5. Observamos. Es un resultado que sorprende: filas y columnas son cosas distintas, pero los subespacios que generan tienen la misma dimensión.

Respuesta: el rango es $2$, y las dos dimensiones valen $2$

2. Miramos la matriz. La segunda fila es el doble de la primera, así que solo aporta una ecuación: $x + 2y - z = 0$.

3. Despejamos. $z = x + 2y$, con $x$ e $y$ libres.

4. Escribimos la solución. $(x; y; x + 2y) = x(1; 0; 1) + y(0; 1; 2)$

5. Damos la dimensión. El espacio nulo tiene base $\{(1; 0; 1), (0; 1; 2)\}$ y dimensión $2$.

Respuesta: el espacio nulo tiene base $\{(1; 0; 1), (0; 1; 2)\}$ y dimensión $2$

2. Identificamos los datos. La matriz tiene $6$ columnas y rango $3$.

3. Despejamos. $\dim(\text{nulo}) = 6 - 3 = 3$.

4. Interpretamos. El sistema homogéneo asociado tiene infinitas soluciones que dependen de tres parámetros libres.

5. Observamos. Lo que importa es la cantidad de columnas, no de filas. Ese es el error más común al aplicar la fórmula.

Respuesta: la dimensión del espacio nulo es $3$

2. Usamos el determinante. $\det(A) = 6 \neq 0$, así que el sistema es compatible determinado.

3. Identificamos la solución. Un homogéneo con solución única solo puede tener la trivial.

4. Escribimos el resultado. El espacio nulo es $\{(0; 0; 0)\}$, de dimensión $0$.

5. Verificamos con el teorema. Columnas menos rango: $3 - 3 = 0$, que coincide.

Respuesta: el espacio nulo es solo el vector nulo, de dimensión $0$

2. Calculamos el rango. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que $\det = 0$ y el rango es $2$.

3. Aplicamos el teorema. La dimensión del espacio fila y la del espacio columna siempre coinciden, y las dos son iguales al rango.

4. Escribimos el resultado. Las dos dimensiones valen $2$.

5. Observamos. Es un resultado que sorprende: filas y columnas son cosas distintas, pero los subespacios que generan tienen la misma dimensión.

Respuesta: el rango es $2$, y las dos dimensiones valen $2$

2. Escribimos las ecuaciones. $x + 2z = 0$ y $y - z = 0$.

3. Miramos las filas. Ninguna es múltiplo de la otra, así que las dos ecuaciones son independientes: el rango es $2$.

4. Despejamos. $x = -2z$ e $y = z$, con $z$ libre.

5. Escribimos la solución. $(-2z; z; z) = z(-2; 1; 1)$

6. Damos la dimensión. El espacio nulo es la recta generada por $(-2; 1; 1)$: dimensión $1$. Coincide con $3$ columnas menos rango $2$.

Respuesta: el espacio nulo es la recta generada por $(-2; 1; 1)$, de dimensión $1$

2. Identificamos los datos. La matriz tiene $3$ columnas y rango $3$: el rango es máximo respecto de las columnas.

3. Despejamos. $\dim(\text{nulo}) = 3 - 3 = 0$.

4. Interpretamos. El espacio nulo es solo el vector nulo, así que el sistema homogéneo tiene únicamente la solución trivial.

5. Traducimos a independencia. Que el nulo sea trivial equivale a que las columnas sean linealmente independientes.

6. Observamos. La matriz tiene más filas que columnas y aun así el rango llega a $3$: el rango está acotado por el menor de los dos números, y acá ese menor es $3$.

Respuesta: la dimensión del espacio nulo es $0$, así que el sistema homogéneo tiene solo la solución trivial

2. Usamos el determinante. $\det(A) = 25 \neq 0$, así que el sistema es compatible determinado.

3. Identificamos la solución. Un homogéneo con solución única solo puede tener la trivial.

4. Escribimos el resultado. El espacio nulo es $\{(0; 0; 0)\}$, de dimensión $0$.

5. Verificamos con el teorema. Columnas menos rango: $3 - 3 = 0$, que coincide.

Respuesta: el espacio nulo es solo el vector nulo, de dimensión $0$

2. Calculamos el rango. La tercera fila es la suma de las dos primeras, así que $\det = 0$ y el rango es $2$.

3. Aplicamos el teorema. La dimensión del espacio fila y la del espacio columna siempre coinciden, y las dos son iguales al rango.

4. Escribimos el resultado. Las dos dimensiones valen $2$.

5. Observamos. Es un resultado que sorprende: filas y columnas son cosas distintas, pero los subespacios que generan tienen la misma dimensión.

Respuesta: el rango es $2$, y las dos dimensiones valen $2$

2. Escribimos las ecuaciones. Las dos filas dan la misma ecuación: $x + y = 0$.

3. Identificamos el rango. Hay una sola ecuación independiente, así que el rango de $A$ es $1$.

4. Despejamos. $y = -x$, con $x$ libre.

5. Escribimos la solución. $(x; -x) = x(1; -1)$: la recta generada por $(1; -1)$.

6. Damos la dimensión. Dimensión $1$, que es $2$ columnas menos rango $1$.

7. Observamos. El espacio nulo no se reduce al vector nulo, así que $A$ no es inversible. Su determinante es $1 - 1 = 0$, coherente con eso.

Respuesta: el espacio nulo es la recta generada por $(1; -1)$, de dimensión $1$

2. Identificamos los datos. La matriz tiene $7$ columnas y rango $2$.

3. Calculamos el espacio nulo. $\dim(\text{nulo}) = 7 - 2 = 5$.

4. Calculamos el espacio columna. El espacio columna tiene dimensión igual al rango, así que es $2$.

5. Ubicamos cada uno. El espacio nulo vive en $\mathbb{R}^7$, porque son vectores que se multiplican por la matriz. El espacio columna vive en $\mathbb{R}^3$, porque son combinaciones de columnas de $3$ componentes.

6. Observamos. Los dos subespacios viven en espacios distintos, así que no tiene sentido sumarlos ni compararlos directamente. Lo único que los liga es el teorema de la dimensión.

Respuesta: el espacio nulo tiene dimensión $5$ y el espacio columna dimensión $2$

2. Usamos el determinante. $\det(A) = 10 \neq 0$, así que el sistema es compatible determinado.

3. Identificamos la solución. Un homogéneo con solución única solo puede tener la trivial.

4. Escribimos el resultado. El espacio nulo es $\{(0; 0; 0)\}$, de dimensión $0$.

5. Verificamos con el teorema. Columnas menos rango: $3 - 3 = 0$, que coincide.

Respuesta: el espacio nulo es solo el vector nulo, de dimensión $0$