Método

Ejercicios: Producto interno y norma

u⋅v=u1v1+u2v2+⋯+unvnu \cdot v = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \dots + u_{n}v_{n}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá el producto interno de u=(6;−3;−4)u = (6; -3; -4) y v=(5;−1;−6)v = (5; -1; -6) en R3\mathbb{R}^3 con el producto usual.

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1. Recordamos la definición. El producto interno usual de Rn\mathbb{R}^n es el producto escalar: se multiplican componente a componente y se suma.

2. Hacemos los productos. (6)(5)=30(6)(5) = 30, (−3)(−1)=3(-3)(-1) = 3, (−4)(−6)=24(-4)(-6) = 24

3. Sumamos. ⟨u,v⟩=57\langle u, v \rangle = 57

4. Observamos. El producto interno generaliza esta idea a otros espacios, como el de los polinomios o el de las funciones, donde la suma se reemplaza por una integral.

Respuesta: ⟨u,v⟩=57\langle u, v \rangle = 57

2. Calculá la norma de u=(−5;−3;−4)u = (-5; -3; -4) y hallá el vector unitario en su dirección.

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1. Conectamos norma y producto interno. La norma se define como la raíz del producto interno del vector consigo mismo.

2. Calculamos el producto interno. ⟨u,u⟩=50\langle u, u \rangle = 50

3. Tomamos la raíz. ∥u∥=50≈7,0711\|u\| = \sqrt{50} \approx 7{,}0711

4. Normalizamos. u^=150(−5;−3;−4)\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{50}}(-5; -3; -4), que tiene norma 11.

5. Observamos. Cualquier vector no nulo se puede normalizar. El único que no admite versor es el vector nulo.

Respuesta: ∥u∥=50≈7,0711\|u\| = \sqrt{50} \approx 7{,}0711

3. Verificá la desigualdad de Cauchy-Schwarz para u=(−1;−1;1)u = (-1; -1; 1) y v=(4;1;3)v = (4; 1; 3).

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1. Escribimos la desigualdad. Dice que el valor absoluto del producto interno nunca supera al producto de las normas.

2. Calculamos el lado izquierdo. ∣⟨u,v⟩∣=2|\langle u, v \rangle| = 2

3. Calculamos el lado derecho. ∥u∥⋅∥v∥=3⋅26≈8,8318\|u\| \cdot \|v\| = \sqrt{3} \cdot \sqrt{26} \approx 8{,}8318

4. Comparamos. 2≤8,83182 \leq 8{,}8318, así que la desigualdad se cumple.

5. Observamos. Esta desigualdad es lo que permite definir el ángulo entre vectores: garantiza que el cociente que se usa como coseno quede entre −1-1 y 11.

Respuesta: se cumple: 2≤8,83182 \leq 8{,}8318

4. Verificá la desigualdad triangular para u=(−4;−3;−5)u = (-4; -3; -5) y v=(−1;−5;5)v = (-1; -5; 5).

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1. Escribimos la desigualdad. Dice que la norma de la suma nunca supera a la suma de las normas.

2. Calculamos la suma de los vectores. u+v=(−5;−8;0)u + v = (-5; -8; 0)

3. Calculamos su norma. ∥u+v∥=89≈9,434\|u + v\| = \sqrt{89} \approx 9{,}434

4. Calculamos la suma de las normas. ∥u∥+∥v∥≈14,2125\|u\| + \|v\| \approx 14{,}2125

5. Comparamos. 9,434≤14,21259{,}434 \leq 14{,}2125, se cumple.

6. Interpretamos. Es la versión vectorial de que un lado de un triángulo mide menos que la suma de los otros dos. La igualdad solo pasa si los vectores son paralelos y del mismo sentido.

Respuesta: se cumple: 9,434≤14,21259{,}434 \leq 14{,}2125

5. Calculá el producto interno de u=(−2;1;3)u = (-2; 1; 3) y v=(−3;−4;−5)v = (-3; -4; -5) en R3\mathbb{R}^3 con el producto usual.

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1. Recordamos la definición. El producto interno usual de Rn\mathbb{R}^n es el producto escalar: se multiplican componente a componente y se suma.

2. Hacemos los productos. (−2)(−3)=6(-2)(-3) = 6, (1)(−4)=−4(1)(-4) = -4, (3)(−5)=−15(3)(-5) = -15

3. Sumamos. ⟨u,v⟩=−13\langle u, v \rangle = -13

4. Observamos. El producto interno generaliza esta idea a otros espacios, como el de los polinomios o el de las funciones, donde la suma se reemplaza por una integral.

Respuesta: ⟨u,v⟩=−13\langle u, v \rangle = -13

6. Calculá la norma de u=(4;1;−4)u = (4; 1; -4) y hallá el vector unitario en su dirección.

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1. Conectamos norma y producto interno. La norma se define como la raíz del producto interno del vector consigo mismo.

2. Calculamos el producto interno. ⟨u,u⟩=33\langle u, u \rangle = 33

3. Tomamos la raíz. ∥u∥=33≈5,7446\|u\| = \sqrt{33} \approx 5{,}7446

4. Normalizamos. u^=133(4;1;−4)\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{33}}(4; 1; -4), que tiene norma 11.

5. Observamos. Cualquier vector no nulo se puede normalizar. El único que no admite versor es el vector nulo.

Respuesta: ∥u∥=33≈5,7446\|u\| = \sqrt{33} \approx 5{,}7446

7. Verificá la desigualdad de Cauchy-Schwarz para u=(−5;−3;−6)u = (-5; -3; -6) y v=(2;2;−6)v = (2; 2; -6).

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1. Escribimos la desigualdad. Dice que el valor absoluto del producto interno nunca supera al producto de las normas.

2. Calculamos el lado izquierdo. ∣⟨u,v⟩∣=20|\langle u, v \rangle| = 20

3. Calculamos el lado derecho. ∥u∥⋅∥v∥=70⋅44≈55,4977\|u\| \cdot \|v\| = \sqrt{70} \cdot \sqrt{44} \approx 55{,}4977

4. Comparamos. 20≤55,497720 \leq 55{,}4977, así que la desigualdad se cumple.

5. Observamos. Esta desigualdad es lo que permite definir el ángulo entre vectores: garantiza que el cociente que se usa como coseno quede entre −1-1 y 11.

Respuesta: se cumple: 20≤55,497720 \leq 55{,}4977

8. Verificá la desigualdad triangular para u=(−5;5;−4)u = (-5; 5; -4) y v=(2;1;5)v = (2; 1; 5).

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1. Escribimos la desigualdad. Dice que la norma de la suma nunca supera a la suma de las normas.

2. Calculamos la suma de los vectores. u+v=(−3;6;1)u + v = (-3; 6; 1)

3. Calculamos su norma. ∥u+v∥=46≈6,7823\|u + v\| = \sqrt{46} \approx 6{,}7823

4. Calculamos la suma de las normas. ∥u∥+∥v∥≈13,6013\|u\| + \|v\| \approx 13{,}6013

5. Comparamos. 6,7823≤13,60136{,}7823 \leq 13{,}6013, se cumple.

6. Interpretamos. Es la versión vectorial de que un lado de un triángulo mide menos que la suma de los otros dos. La igualdad solo pasa si los vectores son paralelos y del mismo sentido.

Respuesta: se cumple: 6,7823≤13,60136{,}7823 \leq 13{,}6013

9. Calculá el producto interno de u=(−3;−1;5)u = (-3; -1; 5) y v=(1;−1;−3)v = (1; -1; -3) en R3\mathbb{R}^3 con el producto usual.

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1. Recordamos la definición. El producto interno usual de Rn\mathbb{R}^n es el producto escalar: se multiplican componente a componente y se suma.

2. Hacemos los productos. (−3)(1)=−3(-3)(1) = -3, (−1)(−1)=1(-1)(-1) = 1, (5)(−3)=−15(5)(-3) = -15

3. Sumamos. ⟨u,v⟩=−17\langle u, v \rangle = -17

4. Observamos. El producto interno generaliza esta idea a otros espacios, como el de los polinomios o el de las funciones, donde la suma se reemplaza por una integral.

Respuesta: ⟨u,v⟩=−17\langle u, v \rangle = -17

10. Calculá la norma de u=(−4;6;4)u = (-4; 6; 4) y hallá el vector unitario en su dirección.

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1. Conectamos norma y producto interno. La norma se define como la raíz del producto interno del vector consigo mismo.

2. Calculamos el producto interno. ⟨u,u⟩=68\langle u, u \rangle = 68

3. Tomamos la raíz. ∥u∥=68≈8,2462\|u\| = \sqrt{68} \approx 8{,}2462

4. Normalizamos. u^=168(−4;6;4)\hat{u} = \dfrac{1}{\sqrt{68}}(-4; 6; 4), que tiene norma 11.

5. Observamos. Cualquier vector no nulo se puede normalizar. El único que no admite versor es el vector nulo.

Respuesta: ∥u∥=68≈8,2462\|u\| = \sqrt{68} \approx 8{,}2462

11. Verificá la desigualdad de Cauchy-Schwarz para u=(−4;−2;−2)u = (-4; -2; -2) y v=(5;−3;−3)v = (5; -3; -3).

Ver solución

1. Escribimos la desigualdad. Dice que el valor absoluto del producto interno nunca supera al producto de las normas.

2. Calculamos el lado izquierdo. ∣⟨u,v⟩∣=8|\langle u, v \rangle| = 8

3. Calculamos el lado derecho. ∥u∥⋅∥v∥=24⋅43≈32,1248\|u\| \cdot \|v\| = \sqrt{24} \cdot \sqrt{43} \approx 32{,}1248

4. Comparamos. 8≤32,12488 \leq 32{,}1248, así que la desigualdad se cumple.

5. Observamos. Esta desigualdad es lo que permite definir el ángulo entre vectores: garantiza que el cociente que se usa como coseno quede entre −1-1 y 11.

Respuesta: se cumple: 8≤32,12488 \leq 32{,}1248

12. Verificá la desigualdad triangular para u=(−4;5;−2)u = (-4; 5; -2) y v=(5;5;−4)v = (5; 5; -4).

Ver solución

1. Escribimos la desigualdad. Dice que la norma de la suma nunca supera a la suma de las normas.

2. Calculamos la suma de los vectores. u+v=(1;10;−6)u + v = (1; 10; -6)

3. Calculamos su norma. ∥u+v∥=137≈11,7047\|u + v\| = \sqrt{137} \approx 11{,}7047

4. Calculamos la suma de las normas. ∥u∥+∥v∥≈14,8322\|u\| + \|v\| \approx 14{,}8322

5. Comparamos. 11,7047≤14,832211{,}7047 \leq 14{,}8322, se cumple.

6. Interpretamos. Es la versión vectorial de que un lado de un triángulo mide menos que la suma de los otros dos. La igualdad solo pasa si los vectores son paralelos y del mismo sentido.

Respuesta: se cumple: 11,7047≤14,832211{,}7047 \leq 14{,}8322

Integradores de Espacios vectoriales: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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