Ejercicios: Ortogonalidad y bases ortonormales

2. Probamos el primer par. $\langle (1; 1; 0), (1; -1; 0) \rangle = 1 - 1 + 0 = 0$

3. Probamos los otros dos pares. Los productos con $(0; 0; 1)$ dan cero, porque los dos primeros vectores tienen tercera componente nula.

4. Concluimos. Los tres pares dan cero, así que el conjunto es ortogonal.

5. Observamos. No es ortonormal, porque los dos primeros tienen norma $\sqrt{2}$ y no $1$.

Respuesta: sí es ortogonal, pero no ortonormal

2. Calculamos las normas. Los dos primeros tienen norma $\sqrt{2}$ y el tercero ya tiene norma $1$.

3. Normalizamos los dos primeros. $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; \dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right)$ y $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right)$

4. Dejamos el tercero. $(0; 0; 1)$ ya es unitario.

5. Observamos. Normalizar no afecta la ortogonalidad: cambia la longitud pero no la dirección, así que los productos internos siguen dando cero.

Respuesta: la base ortonormal es $\left\{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; \dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right), \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right), (0; 0; 1)\right\}$

2. Multiplicamos por uno de los vectores. Hacemos el producto interno de los dos lados con $v_i$.

3. Usamos la ortogonalidad. Todos los términos con $j \neq i$ se anulan, porque esos productos internos dan cero. Queda $\alpha_i \langle v_i, v_i \rangle = 0$.

4. Despejamos. Como $v_i$ no es nulo, $\langle v_i, v_i \rangle \neq 0$, así que $\alpha_i = 0$.

5. Concluimos. El razonamiento vale para cada $i$, así que todos los coeficientes son cero y el conjunto es independiente.

Respuesta: todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente

2. Calculamos cada una. $\langle v, (1;0;0) \rangle = -2$, $\langle v, (0;1;0) \rangle = 2$, $\langle v, (0;0;1) \rangle = -4$

3. Escribimos las coordenadas. $(-2; 2; -4)$

4. Explicamos la ventaja. En una base cualquiera hay que resolver un sistema de ecuaciones. En una ortonormal alcanza con hacer productos internos, uno por coordenada.

5. Observamos. Por eso conviene trabajar con bases ortonormales siempre que se pueda, y por eso existe el procedimiento de Gram-Schmidt.

Respuesta: las coordenadas son $(-2; 2; -4)$

2. Calculamos. $\langle (1; 2), (2; 1) \rangle = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4$

3. Comparamos con cero. $4 \neq 0$, así que los vectores no son perpendiculares.

4. Concluimos. El conjunto no es ortogonal.

5. Aclaramos qué sí son. Son linealmente independientes, porque ninguno es múltiplo del otro. Independencia y ortogonalidad no son lo mismo: la segunda implica la primera, pero no al revés.

6. Damos un ortogonal cercano. Si se cambia el segundo por $(-2; 1)$, el producto da $-2 + 2 = 0$ y el conjunto sí queda ortogonal.

Respuesta: no es ortogonal: el producto interno da $4$, no cero

2. Calculamos las normas. $\|(3; 0)\| = 3$ y $\|(0; -5)\| = 5$.

3. Normalizamos el primero. Dividiendo por $3$ queda $(1; 0)$.

4. Normalizamos el segundo. Dividiendo por $5$ queda $(0; -1)$.

5. Escribimos el resultado. La base ortonormal es $\{(1; 0), (0; -1)\}$.

6. Observamos el signo. $(0; -1)$ es unitario aunque tenga la componente negativa: la norma usa el cuadrado, así que el signo no molesta. Normalizar no cambia el sentido del vector.

Respuesta: la base ortonormal es $\{(1; 0), (0; -1)\}$

2. Escribimos el vector en la base. $v = \alpha_1 b_1 + \dots + \alpha_n b_n$, con las $\alpha_i$ por determinar.

3. Hacemos el producto interno con $b_i$. $\langle v, b_i \rangle = \alpha_1 \langle b_1, b_i \rangle + \dots + \alpha_n \langle b_n, b_i \rangle$.

4. Usamos la ortogonalidad. Todos los términos con $j \neq i$ valen cero, así que sobrevive solo $\alpha_i \langle b_i, b_i \rangle$.

5. Usamos que son unitarios. $\langle b_i, b_i \rangle = \|b_i\|^2 = 1$, así que $\langle v, b_i \rangle = \alpha_i$.

6. Sacamos la consecuencia práctica. En una base ortonormal las coordenadas se calculan con productos internos, sin resolver ningún sistema. Esa es la ventaja concreta de ortonormalizar.

Respuesta: la coordenada $i$-ésima es $\langle v, b_i \rangle$, porque los demás términos se anulan y $\|b_i\| = 1$

2. Calculamos cada una. $\langle v, (1;0;0) \rangle = -3$, $\langle v, (0;1;0) \rangle = 1$, $\langle v, (0;0;1) \rangle = 1$

3. Escribimos las coordenadas. $(-3; 1; 1)$

4. Explicamos la ventaja. En una base cualquiera hay que resolver un sistema de ecuaciones. En una ortonormal alcanza con hacer productos internos, uno por coordenada.

5. Observamos. Por eso conviene trabajar con bases ortonormales siempre que se pueda, y por eso existe el procedimiento de Gram-Schmidt.

Respuesta: las coordenadas son $(-3; 1; 1)$

2. Probamos el primero con el segundo. $\langle (1; 1; 1), (1; -1; 0) \rangle = 1 - 1 + 0 = 0$

3. Probamos el primero con el tercero. $\langle (1; 1; 1), (1; 1; -2) \rangle = 1 + 1 - 2 = 0$

4. Probamos el segundo con el tercero. $\langle (1; -1; 0), (1; 1; -2) \rangle = 1 - 1 + 0 = 0$

5. Concluimos. Los tres productos dan cero, así que el conjunto es ortogonal.

6. Sacamos una consecuencia. Al ser ortogonal y no tener vectores nulos, es linealmente independiente. Como son tres vectores en $\mathbb{R}^3$, forman una base ortogonal del espacio.

Respuesta: sí es ortogonal, y como son tres vectores no nulos en $\mathbb{R}^3$, forman una base ortogonal

2. Calculamos la primera norma. $\|(1; 1; 1)\| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

3. Calculamos la segunda. $\|(1; -1; 0)\| = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

4. Normalizamos. $\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}; \dfrac{1}{\sqrt{3}}; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ y $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right)$.

5. Aclaramos el alcance. Son dos vectores en $\mathbb{R}^3$, así que forman una base ortonormal del plano que generan, no de todo el espacio.

6. Decimos cómo completarla. Para llegar a una base ortonormal de $\mathbb{R}^3$ haría falta un tercer vector unitario perpendicular a los dos, por ejemplo el normalizado de $(1; 1; -2)$.

Respuesta: la base ortonormal del plano que generan es $\left\{\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}; \dfrac{1}{\sqrt{3}}; \dfrac{1}{\sqrt{3}}\right), \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}; -\dfrac{1}{\sqrt{2}}; 0\right)\right\}$

2. Distribuimos. $= \langle u, u \rangle + \langle u, v \rangle + \langle v, u \rangle + \langle v, v \rangle$.

3. Usamos la simetría. $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$, así que los dos términos del medio son iguales y suman $2\langle u, v \rangle$.

4. Usamos la hipótesis. Como $u$ y $v$ son perpendiculares, $\langle u, v \rangle = 0$ y los dos términos del medio desaparecen.

5. Cerramos. $\|u + v\|^2 = \langle u, u \rangle + \langle v, v \rangle = \|u\|^2 + \|v\|^2$.

6. Verificamos con un caso. Con $u = (3; 0)$ y $v = (0; 4)$: $\|u+v\|^2 = 25$ y $\|u\|^2 + \|v\|^2 = 9 + 16 = 25$. Es el triángulo de lados $3$, $4$ y $5$ de siempre.

Respuesta: queda demostrado: al desarrollar $\langle u+v, u+v \rangle$ los términos cruzados se anulan por ser perpendiculares

2. Calculamos cada una. $\langle v, (1;0;0) \rangle = -4$, $\langle v, (0;1;0) \rangle = -3$, $\langle v, (0;0;1) \rangle = -1$

3. Escribimos las coordenadas. $(-4; -3; -1)$

4. Explicamos la ventaja. En una base cualquiera hay que resolver un sistema de ecuaciones. En una ortonormal alcanza con hacer productos internos, uno por coordenada.

5. Observamos. Por eso conviene trabajar con bases ortonormales siempre que se pueda, y por eso existe el procedimiento de Gram-Schmidt.

Respuesta: las coordenadas son $(-4; -3; -1)$