Método

Ortogonalidad y bases ortonormales

Dos vectores son ortogonales cuando su producto interno es cero. Un conjunto es ortogonal cuando todos sus vectores lo son entre sí de a pares.

Un resultado importante es que un conjunto ortogonal de vectores no nulos siempre es independiente. Eso hace que las bases ortogonales sean fáciles de conseguir.

Una base ortonormal además tiene todos sus vectores de norma uno. Se obtiene de una ortogonal dividiendo cada vector por su propia norma.

La ventaja de trabajar con una base ortonormal es enorme. Las coordenadas de un vector se calculan directamente con productos internos, sin resolver ningún sistema.

Ese ahorro es la razón por la que vale la pena el trabajo de construir una base ortonormal: una vez que se tiene, todo lo demás sale mucho más rápido.

La base canónica de las ternas ya es ortonormal, y por eso ahí las coordenadas coinciden con las componentes sin hacer nada.

ortonormal == ortogonal ++ norma 11
Cuándo se usa

Cuando la base con la que trabajás es ortonormal, calculá las coordenadas con productos internos en vez de resolver un sistema. Para verificar ortonormalidad, chequeá que cada norma sea uno y que los productos cruzados den cero.

Ejemplo 1

Verificar que (1,2,−1)(1, 2, -1) y (2,0,2)(2, 0, 2) son ortogonales.

Calculamos el producto interno. 1⋅2+2⋅0+(−1)⋅21 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 2.
Resolvemos. 2−2=02 - 2 = 0.
Concluimos. Son ortogonales, y como además son no nulos, son independientes sin necesidad de probar nada más.
Respuesta: sí, son ortogonales

Ejemplo 2

Convertir (3,4),(−4,3){(3, 4), (-4, 3)} en una base ortonormal de R2R^{2}.

Verificamos la ortogonalidad. 3⋅(−4)+4⋅3=−12+12=03 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0. Ya son perpendiculares.
Calculamos las normas. Las dos valen 9+16=5\sqrt{9 + 16} = 5.
Dividimos cada uno por su norma. Queda (3/5,4/5)(3/5, 4/5) y (−4/5,3/5)(-4/5, 3/5). Cada uno tiene norma 11 y siguen siendo ortogonales.
Respuesta: (3/5,4/5),(−4/5,3/5){(3/5, 4/5), (-4/5, 3/5)}

Error típico

Suponer que un conjunto independiente es ortogonal. La implicación va en un solo sentido: ortogonal implica independiente, pero hay conjuntos independientes cuyos vectores forman cualquier ángulo.

Practicar

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