Los ejemplos que se repiten

Hay unos pocos espacios vectoriales que aparecen en casi todos los ejercicios, y conviene conocerlos bien.

El más familiar es el de las ternas o las duplas de números reales, que son los vectores geométricos del primer volumen. La suma es componente a componente y la dimensión coincide con la cantidad de componentes.

Después está el de las matrices de un tamaño fijo. Se suman y se multiplican por escalares elemento a elemento, y su dimensión es el producto de la cantidad de filas por la de columnas.

También está el de los polinomios de grado menor o igual que un número dado. Se suman coeficiente a coeficiente y su dimensión es el grado máximo más uno, porque hay que contar el término independiente.

Ese detalle de sumar uno se olvida seguido. Los polinomios de grado menor o igual que dos tienen dimensión tres, no dos.

Un detalle importante: el conjunto de polinomios de grado exactamente igual a un número no es espacio vectorial, porque al sumar dos puede bajarse el grado.

P_{2} =

{

a x^{2} + b x + c

}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio trabaja con matrices o polinomios como si fueran vectores. La clave es identificar la dimensión: para polinomios es el grado máximo más uno, y para matrices el producto de sus dimensiones.

Ejemplo 1

Calcular $2p - q$ con $p = x^{2} - 3x$ y $q = 2x^{2} + x - 4$ en $P_{2}$ .

Multiplicamos p por $2$ . Cada coeficiente por $2$ : $2x^{2} - 6x$ .
Restamos q término a término. En $x^{2}$ : $2 - 2 = 0$ . En $x$ : $-6 - 1 = -7$ . El independiente: $0 + 4 = 4$ .
Escribimos el resultado. $-7x + 4$ . El término en $x^{2}$ se anuló, pero el resultado sigue en $P_{2}$ , porque la condición es de grado menor o igual.
Respuesta: $2p - q = -7x + 4$

Ejemplo 2

Escribir el polinomio $3x^{2} + 2$ como terna de coeficientes y verificar que la suma se corresponde.

Ordenamos por grado. El coeficiente de $x^{2}$ es $3$ , el de $x$ es $0$ y el independiente es $2$ .
Escribimos la terna. $(3, 0, 2)$ .
Verificamos con otra suma. Sumando $x^{2} - x$ , de terna $(1, -1, 0)$ , da $4x^{2} - x + 2$ y $(4, -1, 2)$ , que es la suma de las dos ternas.
Respuesta: $(3, 0, 2)$

Error típico

Contar mal la cantidad de coeficientes de $P_{n}$ . Los polinomios de grado menor o igual que $2$ tienen tres coeficientes, no dos: el de $x^{2}$ , el de x y el término independiente.

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