Ejercicios: Los ejemplos que se repiten

P_{2} =

{

a x^{2} + b x + c

}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Indicá la dimensión del espacio $\mathbb{R}^{2}$ y escribí una base de ese espacio.

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1. Identificamos el espacio. $\mathbb{R}^{2}$ es el conjunto de las duplas de números reales.

2. Buscamos la base más simple. La base canónica está formada por los vectores que tienen un uno en una posición y ceros en el resto.

3. La escribimos. $(1; 0), (0; 1)$

4. Contamos. Son $2$ vectores, así que la dimensión es $2$ .

5. Observamos. Cualquier vector del espacio se escribe con esa base poniendo sus propias componentes como coeficientes.

Respuesta: la dimensión es $2$ , y una base es la canónica

2. Indicá la dimensión del espacio de los polinomios de grado menor o igual que $2$ y escribí una base.

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1. Describimos el espacio. Sus elementos son los polinomios de la forma $a_0 + a_1x + \dots + a_{2}x^{2}$ .

2. Contamos los coeficientes libres. Hay $3$ coeficientes que se pueden elegir con libertad, desde el término independiente hasta el de grado $2$ .

3. Escribimos la base. $1, x, x^{2}$

4. Concluimos. La dimensión es $3$ , uno más que el grado máximo.

5. Observamos. Ese uno de más corresponde al término independiente, que se olvida seguido al contar.

Respuesta: la dimensión es $3$

3. Indicá la dimensión del espacio de las matrices de orden $2 \times 2$ .

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1. Describimos los elementos. Cada matriz tiene $2$ filas y $2$ columnas, o sea $4$ elementos.

2. Vemos cuántos son libres. Cada uno de esos $4$ lugares se puede llenar con cualquier número, sin restricciones.

3. Armamos la base. La base está formada por las matrices que tienen un uno en una posición y ceros en el resto.

4. Contamos. Hay una por cada posición, así que la dimensión es $4$ .

5. Observamos. El espacio se comporta igual que $\mathbb{R}^{4}$ : cambia cómo se escriben los elementos, no la estructura.

Respuesta: la dimensión es $4$

4. Decidí si el conjunto de las matrices simétricas de $2 \times 2$ es un espacio vectorial y hallá su dimensión.

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1. Verificamos que sea cerrado. La suma de dos matrices simétricas es simétrica, y multiplicar una simétrica por un número la deja simétrica. Además la matriz nula es simétrica.

2. Concluimos que es espacio vectorial. Cumple las condiciones, así que es un subespacio del espacio de todas las matrices de dos por dos.

3. Contamos los grados de libertad. Una simétrica de dos por dos tiene la forma $\begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$ : solo tres números libres, porque el cuarto queda determinado.

4. Concluimos. La dimensión es $3$ , mientras que el espacio de todas las matrices de dos por dos tiene dimensión $4$ .

Respuesta: sí es espacio vectorial, de dimensión $3$

5. Indicá la dimensión del espacio $\mathbb{R}^{3}$ y escribí una base de ese espacio.

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1. Identificamos el espacio. $\mathbb{R}^{3}$ es el conjunto de las ternas de números reales.

2. Buscamos la base más simple. La base canónica está formada por los vectores que tienen un uno en una posición y ceros en el resto.

3. La escribimos. $(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)$

4. Contamos. Son $3$ vectores, así que la dimensión es $3$ .

5. Observamos. Cualquier vector del espacio se escribe con esa base poniendo sus propias componentes como coeficientes.

Respuesta: la dimensión es $3$ , y una base es la canónica

6. Indicá la dimensión del espacio de los polinomios de grado menor o igual que $3$ y escribí una base.

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1. Describimos el espacio. Sus elementos son los polinomios de la forma $a_0 + a_1x + \dots + a_{3}x^{3}$ .

2. Contamos los coeficientes libres. Hay $4$ coeficientes que se pueden elegir con libertad, desde el término independiente hasta el de grado $3$ .

3. Escribimos la base. $1, x, x^{2}, x^{3}$

4. Concluimos. La dimensión es $4$ , uno más que el grado máximo.

5. Verificamos que sea base. Ningún $x^k$ se escribe como combinación de los otros, porque tienen grados distintos. Son independientes y generan.

Respuesta: la dimensión es $4$

7. Indicá la dimensión del espacio de las matrices de orden $2 \times 3$ .

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1. Describimos los elementos. Cada matriz tiene $2$ filas y $3$ columnas, o sea $6$ elementos.

2. Vemos cuántos son libres. Cada uno de esos $6$ lugares se puede llenar con cualquier número, sin restricciones.

3. Armamos la base. La base está formada por las matrices que tienen un uno en una posición y ceros en el resto.

4. Contamos. Hay una por cada posición, así que la dimensión es $6$ .

5. Observamos. El espacio se comporta igual que $\mathbb{R}^{6}$ : cambia cómo se escriben los elementos, no la estructura.

Respuesta: la dimensión es $6$

8. Decidí si el conjunto de las matrices diagonales de $2 \times 2$ es un espacio vectorial y hallá su dimensión.

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1. Verificamos que sea cerrado. Sumar dos diagonales deja ceros fuera de la diagonal, y multiplicar por un número también. La matriz nula es diagonal.

2. Concluimos que es espacio vectorial. Es un subespacio del espacio de todas las matrices de dos por dos.

3. Contamos los grados de libertad. Una diagonal tiene la forma $\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}$ : solo dos números libres.

4. Escribimos una base. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ .

5. Concluimos. La dimensión es $2$ . Las diagonales están dentro de las simétricas, y su dimensión es menor, como corresponde.

Respuesta: sí es espacio vectorial, de dimensión $2$

9. Indicá la dimensión del espacio $\mathbb{R}^{4}$ y escribí una base de ese espacio.

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1. Identificamos el espacio. $\mathbb{R}^{4}$ es el conjunto de las cuaternas de números reales.

2. Buscamos la base más simple. La base canónica está formada por los vectores que tienen un uno en una posición y ceros en el resto.

3. La escribimos. $(1; 0; 0; 0), (0; 1; 0; 0), (0; 0; 1; 0), (0; 0; 0; 1)$

4. Contamos. Son $4$ vectores, así que la dimensión es $4$ .

5. Observamos. Cualquier vector del espacio se escribe con esa base poniendo sus propias componentes como coeficientes.

Respuesta: la dimensión es $4$ , y una base es la canónica

10. Indicá la dimensión del espacio de los polinomios de grado menor o igual que $4$ y escribí una base.

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1. Describimos el espacio. Sus elementos son los polinomios de la forma $a_0 + a_1x + \dots + a_{4}x^{4}$ .

2. Contamos los coeficientes libres. Hay $5$ coeficientes que se pueden elegir con libertad, desde el término independiente hasta el de grado $4$ .

3. Escribimos la base. $1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}$

4. Concluimos. La dimensión es $5$ , uno más que el grado máximo.

5. Generalizamos. Los polinomios de grado menor o igual que $n$ forman un espacio de dimensión $n+1$ . Con $n = 4$ da $5$ .

Respuesta: la dimensión es $5$

11. Indicá la dimensión del espacio de las matrices de orden $3 \times 3$ .

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1. Describimos los elementos. Cada matriz tiene $3$ filas y $3$ columnas, o sea $9$ elementos.

2. Vemos cuántos son libres. Cada uno de esos $9$ lugares se puede llenar con cualquier número, sin restricciones.

3. Armamos la base. La base está formada por las matrices que tienen un uno en una posición y ceros en el resto.

4. Contamos. Hay una por cada posición, así que la dimensión es $9$ .

5. Observamos. El espacio se comporta igual que $\mathbb{R}^{9}$ : cambia cómo se escriben los elementos, no la estructura.

Respuesta: la dimensión es $9$

12. Decidí si el conjunto de las matrices de $2 \times 2$ con traza cero es un espacio vectorial y hallá su dimensión.

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1. Recordamos qué es la traza. Es la suma de los elementos de la diagonal. La condición es $a + d = 0$ .

2. Verificamos que sea cerrado. La traza de una suma es la suma de las trazas, así que dos matrices de traza cero suman una de traza cero. Multiplicar por $k$ multiplica la traza por $k$ , que sigue siendo cero.

3. Verificamos el nulo. La matriz nula tiene traza cero, así que pertenece.

4. Contamos los grados de libertad. La forma general es $\begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$ : los libres son $a$ , $b$ y $c$ , y el cuarto queda determinado.

5. Concluimos. La dimensión es $3$ .

6. Observamos. La condición funciona porque la traza es lineal y está igualada a cero. Si pidiera traza igual a $1$ , la matriz nula quedaría afuera y no sería subespacio.

Respuesta: sí es espacio vectorial, de dimensión $3$

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