Ejercicios: Subespacios

1. Decidí si $S = \{(x; y; z) \in \mathbb{R}^3 : x + y - z = 0\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

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1. Recordamos el criterio corto. No hace falta verificar las ocho propiedades. Alcanza con tres cosas: que contenga al nulo, que sea cerrado bajo la suma y bajo el producto por escalares.

2. Verificamos el vector nulo. $0 + 0 - 0 = 0$ , así que $(0; 0; 0)$ cumple la condición y pertenece a $S$ .

3. Verificamos la suma. Si dos vectores cumplen la ecuación, al sumarlos las coordenadas se suman y la ecuación se sigue cumpliendo, porque es lineal e igualada a cero.

4. Verificamos el producto por escalares. Multiplicar todo por un número también preserva la igualdad a cero.

5. Concluimos. $S$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

Respuesta: sí es un subespacio

2. Decidí si $S = \{(x; y; z) \in \mathbb{R}^3 : x + y - z = 4\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

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1. Empezamos por el vector nulo. Es el chequeo más rápido y descarta muchos conjuntos de entrada.

2. Lo reemplazamos. $0 + 0 - 0 = 0$ , pero la condición pide que dé $4$ .

3. Concluimos. El vector nulo no pertenece a $S$ , así que $S$ no es un subespacio.

4. Explicamos la diferencia. Geométricamente, $S$ es un plano que no pasa por el origen. Los subespacios de $\mathbb{R}^3$ son solo el origen, las rectas y los planos que pasan por el origen, y todo el espacio.

5. Generalizamos. Una ecuación lineal igualada a cero da un subespacio. Igualada a otro número, no.

Respuesta: no es un subespacio, porque no contiene al vector nulo

3. Decidí si $S = \{(x; y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 0\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^2$ .

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1. Verificamos el nulo. $(0; 0)$ cumple $0 \cdot 0 = 0$ , así que pertenece. Hasta acá no se descarta.

2. Probamos con la suma. Tomamos $(1; 0)$ y $(0; 1)$ . Los dos cumplen la condición, porque en cada uno una coordenada es cero.

3. Sumamos. $(1; 0) + (0; 1) = (1; 1)$ , y ahí $1 \cdot 1 = 1 \neq 0$ .

4. Concluimos. La suma se salió del conjunto, así que $S$ no es cerrado bajo la suma y no es subespacio.

5. Interpretamos. $S$ es la unión de los dos ejes, y una unión de dos rectas no es un subespacio aunque cada recta por separado sí lo sea.

Respuesta: no es un subespacio: no es cerrado bajo la suma

4. Decidí si el conjunto de todos los múltiplos de $u = (6; -4; -5)$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ y describilo geométricamente.

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1. Escribimos el conjunto. $S = \{t\,(6; -4; -5) : t \in \mathbb{R}\}$

2. Verificamos el nulo. Con $t = 0$ se obtiene el vector nulo, así que pertenece.

3. Verificamos la suma. La suma de dos múltiplos de $u$ es otro múltiplo de $u$ , porque los coeficientes se suman.

4. Verificamos el producto. Multiplicar un múltiplo de $u$ por un número da otro múltiplo de $u$ .

5. Concluimos. Es un subespacio de dimensión $1$ : geométricamente es la recta que pasa por el origen con dirección $(6; -4; -5)$ .

Respuesta: sí es un subespacio: la recta que pasa por el origen con esa dirección

5. Decidí si $S = \{(x; y; z) \in \mathbb{R}^3 : x = 2y\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

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1. Reescribimos la condición. $x = 2y$ es lo mismo que $x - 2y = 0$ : una ecuación lineal igualada a cero, sin término independiente.

2. Verificamos el vector nulo. $0 - 2 \cdot 0 = 0$ , así que $(0; 0; 0)$ pertenece.

3. Verificamos la suma. Si $x_1 = 2y_1$ y $x_2 = 2y_2$ , sumando queda $x_1 + x_2 = 2(y_1 + y_2)$ : la suma cumple la condición.

4. Verificamos el producto por escalares. Multiplicando la igualdad por $k$ queda $kx = 2(ky)$ , que es la misma condición.

5. Describimos $S$ . Como $z$ queda libre, $S$ es el plano generado por $(2; 1; 0)$ y $(0; 0; 1)$ : dimensión $2$ .

6. Concluimos. $S$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ , de dimensión $2$ .

Respuesta: sí es un subespacio, de dimensión $2$

6. Decidí si $S = \{(x; y; z) \in \mathbb{R}^3 : x + y - z = 2\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

Ver solución

1. Empezamos por el vector nulo. Es el chequeo más rápido y descarta muchos conjuntos de entrada.

2. Lo reemplazamos. $0 + 0 - 0 = 0$ , pero la condición pide que dé $2$ .

3. Concluimos. El vector nulo no pertenece a $S$ , así que $S$ no es un subespacio.

4. Explicamos la diferencia. Geométricamente, $S$ es un plano que no pasa por el origen. Los subespacios de $\mathbb{R}^3$ son solo el origen, las rectas y los planos que pasan por el origen, y todo el espacio.

5. Generalizamos. Una ecuación lineal igualada a cero da un subespacio. Igualada a otro número, no.

Respuesta: no es un subespacio, porque no contiene al vector nulo

7. Decidí si $S = \{(x; y) \in \mathbb{R}^2 : x + y = 1\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^2$ .

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1. Verificamos el nulo. $(0; 0)$ da $0 + 0 = 0 \neq 1$ , así que el vector nulo no pertenece a $S$ .

2. Concluimos de entrada. Sin vector nulo no hay subespacio. No hace falta revisar nada más.

3. Lo confirmamos con la suma. $(1; 0)$ y $(0; 1)$ están en $S$ , pero su suma $(1; 1)$ da $1 + 1 = 2 \neq 1$ .

4. Interpretamos. $S$ es una recta, pero una recta que no pasa por el origen. Los subespacios de $\mathbb{R}^2$ son solo el origen, las rectas por el origen y todo el plano.

5. Damos la regla práctica. El término independiente es lo que arruina todo. Con $x + y = 0$ sí sería subespacio.

Respuesta: no es un subespacio: no contiene al vector nulo

8. Decidí si el conjunto de todos los múltiplos de $u = (5; -2; -6)$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ y describilo geométricamente.

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1. Escribimos el conjunto. $S = \{t\,(5; -2; -6) : t \in \mathbb{R}\}$

2. Verificamos el nulo. Con $t = 0$ se obtiene el vector nulo, así que pertenece.

3. Verificamos la suma. La suma de dos múltiplos de $u$ es otro múltiplo de $u$ , porque los coeficientes se suman.

4. Verificamos el producto. Multiplicar un múltiplo de $u$ por un número da otro múltiplo de $u$ .

5. Concluimos. Es un subespacio de dimensión $1$ : geométricamente es la recta que pasa por el origen con dirección $(5; -2; -6)$ .

Respuesta: sí es un subespacio: la recta que pasa por el origen con esa dirección

9. Decidí si $S = \{(x; y; z) \in \mathbb{R}^3 : x = y = z\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

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1. Reescribimos la condición. Son dos ecuaciones a la vez: $x - y = 0$ y $y - z = 0$ . Las dos son lineales e igualadas a cero.

2. Verificamos el vector nulo. $(0; 0; 0)$ cumple las dos, así que pertenece.

3. Verificamos la suma. Si dos vectores tienen las tres coordenadas iguales entre sí, al sumarlos las tres coordenadas siguen siendo iguales entre sí.

4. Verificamos el producto por escalares. Multiplicar por $k$ mantiene la igualdad de las tres coordenadas.

5. Describimos $S$ . Todo elemento es de la forma $(a; a; a) = a(1; 1; 1)$ : es la recta generada por $(1; 1; 1)$ , de dimensión $1$ .

6. Concluimos. $S$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ , de dimensión $1$ .

7. Observamos. Cada ecuación lineal homogénea baja la dimensión en uno: dos ecuaciones sobre $\mathbb{R}^3$ dejan dimensión $1$ .

Respuesta: sí es un subespacio, de dimensión $1$

10. Decidí si $S = \{(x; y; z) \in \mathbb{R}^3 : x + y - z = 1\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

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1. Empezamos por el vector nulo. Es el chequeo más rápido y descarta muchos conjuntos de entrada.

2. Lo reemplazamos. $0 + 0 - 0 = 0$ , pero la condición pide que dé $1$ .

3. Concluimos. El vector nulo no pertenece a $S$ , así que $S$ no es un subespacio.

4. Explicamos la diferencia. Geométricamente, $S$ es un plano que no pasa por el origen. Los subespacios de $\mathbb{R}^3$ son solo el origen, las rectas y los planos que pasan por el origen, y todo el espacio.

5. Generalizamos. Una ecuación lineal igualada a cero da un subespacio. Igualada a otro número, no.

Respuesta: no es un subespacio, porque no contiene al vector nulo

11. Decidí si $S = \{(x; y) \in \mathbb{R}^2 : y = |x|\}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^2$ .

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1. Verificamos el nulo. $(0; 0)$ cumple $0 = |0|$ , así que pertenece. No se descarta todavía.

2. Probamos con un escalar negativo. Tomamos $(2; 2)$ , que cumple porque $|2| = 2$ , y lo multiplicamos por $-1$ .

3. Vemos el resultado. Queda $(-2; -2)$ , pero $|-2| = 2 \neq -2$ : no pertenece a $S$ .

4. Concluimos. No es cerrado bajo el producto por escalares, así que no es subespacio.

5. Lo confirmamos con la suma. $(1; 1)$ y $(-1; 1)$ están los dos en $S$ , pero suman $(0; 2)$ , que no cumple la condición.

6. Interpretamos. El gráfico de $y = |x|$ tiene un pico en el origen. Un subespacio no puede tener quiebres: es recto por definición.

Respuesta: no es un subespacio: multiplicar por un escalar negativo se sale del conjunto

12. Decidí si el conjunto de todos los múltiplos de $u = (-4; -3; -3)$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ y describilo geométricamente.

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1. Escribimos el conjunto. $S = \{t\,(-4; -3; -3) : t \in \mathbb{R}\}$

2. Verificamos el nulo. Con $t = 0$ se obtiene el vector nulo, así que pertenece.

3. Verificamos la suma. La suma de dos múltiplos de $u$ es otro múltiplo de $u$ , porque los coeficientes se suman.

4. Verificamos el producto. Multiplicar un múltiplo de $u$ por un número da otro múltiplo de $u$ .

5. Concluimos. Es un subespacio de dimensión $1$ : geométricamente es la recta que pasa por el origen con dirección $(-4; -3; -3)$ .

Respuesta: sí es un subespacio: la recta que pasa por el origen con esa dirección