Ejercicios: Intersección y suma de subespacios

2. Planteamos la intersección. Un vector está en los dos si cumple las dos condiciones a la vez: $z = 0$ y $x = 0$.

3. Describimos el resultado. Queda $\{(0; y; 0)\}$, o sea todos los múltiplos de $(0; 1; 0)$.

4. Identificamos la dimensión. Es la recta del eje $y$, así que tiene dimensión $1$.

5. Observamos. La intersección de dos subespacios siempre es un subespacio, porque las dos condiciones se cumplen simultáneamente.

Respuesta: $S \cap T$ es el eje $y$, de dimensión $1$

2. La calculamos. Sumando $(a; 0; 0)$ con $(0; b; 0)$ se obtiene $(a; b; 0)$, o sea todo el plano $xy$.

3. Vemos que la suma sí es subespacio. $S + T$ es el plano $xy$, que es un subespacio de dimensión $2$.

4. Analizamos la unión. $S \cup T$ son solo los dos ejes. Sumando $(1; 0; 0)$ con $(0; 1; 0)$ queda $(1; 1; 0)$, que no está en ninguno de los dos ejes.

5. Concluimos. La suma es subespacio pero la unión no. Es la diferencia clave entre las dos operaciones.

Respuesta: $S + T$ es el plano $xy$, de dimensión $2$; la unión no es subespacio

2. Usamos la fórmula de las dimensiones. $\dim(S + T) = \dim S + \dim T - \dim(S \cap T)$.

3. Acotamos la suma. $S + T$ está dentro de $\mathbb{R}^3$, así que su dimensión no puede pasar de $3$. Y como los planos son distintos, la suma es todo el espacio: dimensión $3$.

4. Despejamos la intersección. $3 = 2 + 2 - \dim(S \cap T)$, de donde $\dim(S \cap T) = 1$.

5. Interpretamos. Dos planos distintos que pasan por el origen se cortan en una recta que también pasa por el origen.

Respuesta: $\dim(S \cap T) = 1$ y $\dim(S + T) = 3$

2. Verificamos la suma. Si dos vectores están en la intersección, están en $S$, y como $S$ es cerrado, su suma está en $S$. El mismo razonamiento vale para $T$.

3. Concluimos sobre la suma. La suma está en los dos, así que está en la intersección.

4. Verificamos el producto por escalares. El razonamiento es idéntico: el múltiplo queda en $S$ y en $T$, así que queda en la intersección.

5. Concluimos. Se cumplen las tres condiciones, así que la intersección siempre es un subespacio. La unión, en cambio, casi nunca lo es.

Respuesta: la intersección siempre es un subespacio

2. Escribimos un elemento genérico de $T$. Todo vector de $T$ es de la forma $(t; t; t)$.

3. Le imponemos la condición de $S$. Para estar también en $S$ hace falta que la primera componente sea cero: $t = 0$.

4. Describimos el resultado. El único vector que cumple las dos cosas es $(0; 0; 0)$.

5. Identificamos la dimensión. La intersección es solo el vector nulo, así que tiene dimensión $0$.

6. Observamos. Dimensión cero no significa conjunto vacío. La intersección de dos subespacios nunca es vacía: siempre contiene al menos al nulo.

Respuesta: $S \cap T = \{(0; 0; 0)\}$, de dimensión $0$

2. Sumamos. $(a; b; 0) + (0; 0; c) = (a; b; c)$, y ahí $a$, $b$ y $c$ son cualesquiera.

3. Identificamos la suma. $S + T = \mathbb{R}^3$, de dimensión $3$.

4. Analizamos la unión. $S \cup T$ es el plano junto con la recta. El vector $(1; 0; 1)$ se obtiene sumando uno de cada uno, pero no está ni en el plano ni en la recta.

5. Concluimos. La suma da todo el espacio; la unión no es subespacio.

6. Observamos. Acá la suma además es directa, porque la intersección del plano con el eje $z$ es solo el nulo.

Respuesta: $S + T = \mathbb{R}^3$, de dimensión $3$; la unión no es subespacio

2. Calculamos la intersección directamente. $S \cap T$ está contenida en $T$, que tiene dimensión $1$, así que vale $0$ o $1$. Si valiera $1$ sería toda la recta, o sea $T \subseteq S$, y el enunciado dice que no.

3. Concluimos sobre la intersección. $\dim(S \cap T) = 0$: la intersección es solo el vector nulo.

4. Usamos la fórmula de las dimensiones. $\dim(S + T) = 2 + 1 - 0 = 3$.

5. Interpretamos. La suma es todo $\mathbb{R}^3$, y además es directa. La recta aporta exactamente la dirección que al plano le faltaba.

6. Damos el nombre. Cuando la suma es directa y da todo el espacio, se dice que $T$ es un complemento de $S$.

Respuesta: $\dim(S \cap T) = 0$ y $\dim(S + T) = 3$, y la suma es directa

2. Verificamos el vector nulo. $0 = 0 + 0$, con el primer $0$ en $S$ y el segundo en $T$. Los dos están porque son subespacios.

3. Verificamos la suma. Tomamos $s_1 + t_1$ y $s_2 + t_2$. Al sumarlos y reagrupar queda $(s_1 + s_2) + (t_1 + t_2)$.

4. Vemos que sigue teniendo la forma pedida. $s_1 + s_2$ está en $S$ y $t_1 + t_2$ está en $T$, porque cada uno es cerrado. Así que la suma está en $S + T$.

5. Verificamos el producto por escalares. $k(s + t) = ks + kt$, con $ks \in S$ y $kt \in T$: también está en $S + T$.

6. Concluimos. $S + T$ es un subespacio, y es el más chico que contiene a $S$ y a $T$ juntos.

Respuesta: la suma de dos subespacios siempre es un subespacio

2. Planteamos el sistema. Un vector está en los dos si cumple $x + y + z = 0$ y $z = 0$ a la vez.

3. Reemplazamos la segunda en la primera. Con $z = 0$, la primera queda $x + y = 0$, o sea $y = -x$.

4. Describimos el resultado. Los vectores son de la forma $(a; -a; 0) = a(1; -1; 0)$: la recta generada por $(1; -1; 0)$.

5. Identificamos la dimensión. Es una recta, así que la dimensión es $1$.

6. Verificamos con la fórmula. $\dim(S+T) = 2 + 2 - 1 = 3$, y efectivamente los dos planos juntos generan todo $\mathbb{R}^3$.

Respuesta: $S \cap T$ es la recta generada por $(1; -1; 0)$, de dimensión $1$

2. Sumamos. $(a; 0) + (b; b) = (a + b; b)$.

3. Vemos qué se alcanza. Dado cualquier $(p; q)$, basta tomar $b = q$ y $a = p - q$. Todo vector del plano se obtiene.

4. Identificamos la suma. $S + T = \mathbb{R}^2$, de dimensión $2$.

5. Analizamos la unión. $S \cup T$ son dos rectas cruzadas. $(1; 0) + (1; 1) = (2; 1)$ no está en ninguna de las dos.

6. Concluimos. La suma es todo el plano; la unión no es subespacio. Una unión de subespacios solo es subespacio cuando uno contiene al otro.

Respuesta: $S + T = \mathbb{R}^2$, de dimensión $2$; la unión no es subespacio

2. Usamos la fórmula de las dimensiones. $\dim(S + T) = 3 + 3 - \dim(S \cap T) = 6 - \dim(S \cap T)$.

3. Acotamos la suma. $S + T$ está dentro de $\mathbb{R}^4$, así que $\dim(S + T) \leq 4$.

4. Despejamos. $6 - \dim(S \cap T) \leq 4$, de donde $\dim(S \cap T) \geq 2$.

5. Concluimos. La intersección tiene dimensión al menos $2$: dos subespacios tan grandes no pueden cortarse solo en el nulo.

6. Interpretamos. Es el mismo fenómeno que en $\mathbb{R}^3$ con dos planos, que a la fuerza comparten una recta. Cuando las dimensiones suman más que el total, la intersección no puede ser trivial.

Respuesta: la mínima dimensión posible de $S \cap T$ es $2$

2. Planteamos el otro lado por el absurdo. Supongamos que ninguno contiene al otro, y que aun así la unión es subespacio.

3. Elegimos dos vectores testigo. Existe $s \in S$ que no está en $T$, y existe $t \in T$ que no está en $S$. Si no existieran, uno contendría al otro.

4. Usamos que la unión sería cerrada. Entonces $s + t$ tendría que estar en la unión, o sea en $S$ o en $T$.

5. Descartamos los dos casos. Si $s + t \in S$, como $s \in S$ y $S$ es cerrado para la resta, entonces $t = (s+t) - s$ estaría en $S$, y dijimos que no. El caso $s + t \in T$ da la contradicción simétrica.

6. Concluimos. Los dos casos son imposibles, así que la unión no puede ser subespacio salvo que uno contenga al otro.

Respuesta: solo si uno contiene al otro: en cualquier otro caso, la suma de un testigo de cada uno se sale de la unión