Ejercicios: Suma directa

2. Calculamos la intersección. Un vector del eje $x$ es $(a; 0)$ y uno del eje $y$ es $(0; b)$. Para estar en los dos hace falta $a = 0$ y $b = 0$.

3. Vemos el resultado. La intersección es solo $(0; 0)$.

4. Concluimos. La suma es directa, y se escribe $S \oplus T = \mathbb{R}^2$.

5. Interpretamos. Cada vector del plano se escribe de una única forma como suma de uno de cada eje. Esa unicidad es lo que caracteriza a la suma directa.

Respuesta: sí es directa: $S \oplus T = \mathbb{R}^2$

2. Vemos qué queda. La intersección es el eje $x$, que tiene dimensión $1$ y no se reduce al vector nulo.

3. Concluimos. La suma no es directa.

4. Vemos la consecuencia. Sin suma directa se pierde la unicidad: el vector $(1; 0; 0)$ se puede escribir de infinitas formas como suma de un elemento de cada plano.

5. Calculamos la suma igual. $S + T$ sigue siendo todo $\mathbb{R}^3$, pero la escritura no es única.

Respuesta: no es directa: la intersección es el eje $x$

2. Buscamos una dirección que no esté en $S$. Cualquier vector con tercera componente no nula sirve, por ejemplo $(0; 0; 1)$.

3. Definimos $T$. $T$ es la recta de todos los múltiplos de $(0; 0; 1)$, o sea el eje $z$.

4. Verificamos la intersección. Un vector del eje $z$ que además tenga $z = 0$ tiene que ser el nulo, así que la intersección es trivial.

5. Concluimos. $S \oplus T = \mathbb{R}^3$. El complemento no es único: cualquier recta que no esté contenida en el plano sirve.

Respuesta: por ejemplo $T$ = eje $z$, y $S \oplus T = \mathbb{R}^3$

2. Igualamos y reordenamos. $s_1 + t_1 = s_2 + t_2$, y pasando términos queda $s_1 - s_2 = t_2 - t_1$.

3. Vemos dónde vive ese vector. El lado izquierdo está en $S$ y el derecho en $T$, así que ese vector está en la intersección.

4. Usamos la hipótesis. Como la suma es directa, la intersección es solo el nulo, así que $s_1 = s_2$ y $t_1 = t_2$.

5. Concluimos. Las dos escrituras eran la misma. Esa unicidad es exactamente lo que aporta la suma directa frente a la suma común.

Respuesta: porque si hubiera dos escrituras, su diferencia estaría en la intersección, que es solo el nulo

2. Escribimos los elementos genéricos. Los de $S$ son $(a; b; 0)$ y los de $T$ son $(0; 0; c)$.

3. Calculamos la intersección. Para estar en los dos hace falta $a = 0$, $b = 0$ y $c = 0$: queda solo $(0; 0; 0)$.

4. Concluimos. La suma es directa: $S \oplus T = \mathbb{R}^3$.

5. Verificamos con las dimensiones. $\dim S + \dim T = 2 + 1 = 3$, que coincide con la dimensión de la suma. Esa coincidencia es otra forma de detectar que es directa.

6. Interpretamos. Todo vector $(a; b; c)$ se parte de una sola manera: la parte del plano es $(a; b; 0)$ y la del eje es $(0; 0; c)$.

Respuesta: sí es directa: $S \oplus T = \mathbb{R}^3$

2. Calculamos la intersección. Como $T \subseteq S$, la intersección es toda $T$: dimensión $1$, no solo el nulo.

3. Concluimos. La suma no es directa.

4. Calculamos la suma. $S + T = S$, o sea el plano $z = 0$. Agregar una recta que ya estaba adentro no aporta nada.

5. Verificamos con la fórmula. $\dim(S+T) = 2 + 1 - 1 = 2$, que es la dimensión del plano: coherente.

6. Damos el criterio rápido. Si un subespacio está contenido en el otro, la suma nunca es directa, salvo el caso trivial en que uno de los dos es solo el nulo.

Respuesta: no es directa: $T$ está contenida en $S$, así que la intersección es toda $T$

2. Buscamos un plano que no contenga a la recta. El plano $yz$, o sea $\{(0; b; c)\}$, no contiene ningún vector del eje $x$ salvo el nulo.

3. Definimos $T$. $T = \{(x; y; z) : x = 0\}$, generado por $(0; 1; 0)$ y $(0; 0; 1)$.

4. Verificamos la intersección. Un vector del eje $x$ con primera componente cero es el nulo: la intersección es trivial.

5. Verificamos la suma. $(a; 0; 0) + (0; b; c) = (a; b; c)$: se alcanza todo $\mathbb{R}^3$.

6. Concluimos. $S \oplus T = \mathbb{R}^3$. Cualquier plano que corte al eje $x$ solo en el origen también sirve.

Respuesta: por ejemplo $T$ = plano $yz$, y $S \oplus T = \mathbb{R}^3$

2. Vemos que juntas generan la suma. Todo elemento de $S + T$ es $s + t$, y cada parte se escribe con su base, así que la unión de las dos listas genera la suma.

3. Probamos que son independientes. Supongamos una combinación de las $p + q$ igualada a cero. Agrupando, la parte de $S$ es igual al opuesto de la parte de $T$.

4. Usamos que la suma es directa. Ese vector está en $S$ y en $T$, así que está en la intersección, que es solo el nulo. Entonces las dos partes valen cero por separado.

5. Cerramos. Cada parte es una combinación nula de una base, así que todos los coeficientes son cero. Las $p + q$ son independientes.

6. Concluimos. Generan y son independientes: forman una base de la suma, que entonces tiene dimensión $p + q$.

Respuesta: porque la unión de una base de $S$ con una de $T$ es base de la suma, y por eso las dimensiones se suman

2. Calculamos la intersección. Si $(a; a) = (b; -b)$, entonces $a = b$ y $a = -b$, lo que obliga a $a = b = 0$.

3. Vemos el resultado. La intersección es solo el vector nulo.

4. Concluimos. La suma es directa: $S \oplus T = \mathbb{R}^2$.

5. Verificamos que den todo el plano. $\dim S + \dim T = 1 + 1 = 2$, y como la suma es directa, la suma tiene dimensión $2$: es todo $\mathbb{R}^2$.

6. Observamos. Los complementos no son únicos: el eje $y$ también es un complemento del eje $x$, y esta pareja de diagonales es otro par que funciona igual de bien.

Respuesta: sí es directa: $S \oplus T = \mathbb{R}^2$

2. Concluimos que son el mismo subespacio. $S = T$, aunque estén escritos con generadores distintos.

3. Calculamos la intersección. Es toda la recta, de dimensión $1$: no se reduce al nulo.

4. Concluimos. La suma no es directa.

5. Calculamos la suma. $S + T = S$: sumar un subespacio consigo mismo no agranda nada.

6. Señalamos el error típico. Dos generadores distintos no garantizan dos subespacios distintos. Antes de sumar conviene mirar si uno es múltiplo del otro.

Respuesta: no es directa: $S$ y $T$ son la misma recta, y $S + T = S$

2. Deducimos la dimensión de $T$. Para que la suma sea directa y dé todo, $T$ tiene que tener dimensión $2$.

3. Elegimos $T$. $T$ = los polinomios sin término independiente, o sea los generados por $x$ y $x^2$.

4. Verificamos la intersección. Un polinomio constante sin término independiente es el polinomio nulo: la intersección es trivial.

5. Verificamos la suma. Todo $a + bx + cx^2$ se parte como $a$ más $bx + cx^2$, uno de cada subespacio.

6. Concluimos. $S \oplus T$ es todo el espacio de polinomios de grado menor o igual que $2$. La partición se hizo separando la base en dos grupos, que es la forma general de construir un complemento.

Respuesta: por ejemplo $T$ = los polinomios generados por $x$ y $x^2$

2. Planteamos la igualdad. $(4; -2; 7) = (a; b; 0) + (0; 0; c) = (a; b; c)$.

3. Igualamos coordenada a coordenada. $a = 4$, $b = -2$ y $c = 7$. No queda ninguna libertad.

4. Escribimos la descomposición. $v = (4; -2; 0) + (0; 0; 7)$.

5. Explicamos la unicidad. Si hubiera otra escritura, restando las dos quedaría un vector no nulo que está a la vez en $S$ y en $T$. Pero la intersección es solo el nulo.

6. Observamos. Sin suma directa esto falla: con dos planos que se cortan en una recta, la misma $v$ admite infinitas descomposiciones.

Respuesta: $v = (4; -2; 0) + (0; 0; 7)$, y es la única descomposición posible