Suma directa

La suma de dos subespacios es directa cuando su intersección es solo el vector nulo. Ese detalle cambia bastante las cosas.

Lo que caracteriza a la suma directa es la unicidad: cada vector de la suma se escribe de una sola forma como uno de cada subespacio. Si la intersección tuviera algo más, habría infinitas descomposiciones posibles.

Como la intersección es trivial, su dimensión es cero, y la fórmula general se simplifica: la dimensión de la suma directa es la suma de las dimensiones.

Eso da un criterio práctico: si las dimensiones se suman sin pérdida, la suma es directa.

Cuando dos subespacios en suma directa dan todo el espacio, cada uno se llama complemento del otro. Un mismo subespacio tiene infinitos complementos posibles, no uno solo.

Uniendo una base de cada subespacio se obtiene una base de la suma directa. Eso no vale si la suma no es directa, porque ahí habría vectores repetidos o dependientes.

V = S \oplus T

S \cap T =

{

0

}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide verificar si una suma es directa. Calculá la intersección: si es solo el vector nulo, lo es. También se puede chequear que las dimensiones sumen sin pérdida.

Ejemplo 1

Decidir si $R^{2}$ es suma directa del eje $x$ y el eje $y$ .

Buscamos la intersección. Un elemento del eje $x$ es $(a, 0)$ y uno del eje $y$ es $(0, b)$ . Para que coincidan hace falta $a = 0$ y $b = 0$ .
Concluimos sobre la intersección. Es solo el origen, así que la suma es directa.
Verificamos las dimensiones. $1 + 1 = 2$ , que es la dimensión de $R^{2}$ . Y cada par $(a, b)$ se escribe de una sola forma: $(a, 0) + (0, b)$ .
Respuesta: sí, $R^{2} = S \oplus T$

Ejemplo 2

Con $S$ y $T$ dos planos distintos por el origen de $R^{3}$ , hallar $\dim(S + T)$ .

Anotamos las dimensiones. Cada plano tiene dimensión $2$ .
Buscamos la intersección. Dos planos distintos por el origen se cortan en una recta, de dimensión $1$ .
Aplicamos la fórmula. $2 + 2 - 1 = 3$ . La suma es todo $R^{3}$ , pero no es directa, porque la intersección no es solo el origen.
Respuesta: $\dim(S + T) = 3$

Error típico

Sumar las dimensiones sin descontar la intersección. Si los dos subespacios comparten algo más que el origen, la suma de las dimensiones da un número más grande que la dimensión real, y a veces más grande que la del espacio entero.

Practicar

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