Complemento ortogonal y proyección

El complemento ortogonal de un subespacio es el conjunto de todos los vectores perpendiculares a todos los del subespacio.

Siempre es un subespacio, y su dimensión es la del espacio total menos la del subespacio original. Las dimensiones se reparten sin superposición.

Un subespacio y su complemento ortogonal están en suma directa y juntos dan todo el espacio. Eso significa que todo vector se descompone de forma única en una parte que está en el subespacio y otra perpendicular a él.

Esa descomposición es la proyección ortogonal, y es una de las herramientas más aplicadas del álgebra lineal.

Para calcularla con una base ortogonal del subespacio, se suman las proyecciones sobre cada vector de la base. Si la base no es ortogonal, primero hay que aplicar Gram-Schmidt.

La proyección es el punto del subespacio más cercano al vector original, y por eso este tema es la base del método de mínimos cuadrados, que aparece en estadística y en aproximación de funciones.

v =

proyección sobre

S +

parte perpendicular

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide el complemento ortogonal, la proyección sobre un subespacio, o el punto más cercano. Ortogonalizá la base primero si no lo está, y después sumá las proyecciones sobre cada vector.

Ejemplo 1

Descomponer $v = (1, 2, 3)$ respecto del plano $z = 0$ .

Proyectamos sobre el plano. El plano tiene base ortogonal ${(1, 0, 0), (0, 1, 0)}$ , así que la proyección es $(1, 2, 0)$ .
Restamos para obtener la otra parte. $(1, 2, 3) - (1, 2, 0) = (0, 0, 3)$ .
Verificamos. Ese vector es perpendicular a los dos de la base, y la suma de las dos partes devuelve $v$ .
Respuesta: $(1, 2, 0) + (0, 0, 3)$

Ejemplo 2

Hallar el complemento ortogonal de $gen{(1, 0, 0)}$ en $R^{3}$ .

Planteamos la condición. Buscamos los $(x, y, z)$ con producto interno cero contra $(1, 0, 0)$ .
Escribimos la ecuación. $x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0 = 0$ , o sea $x = 0$ .
Interpretamos. Es el plano $x = 0$ , de dimensión $2$ . Y $1 + 2 = 3$ , que es la dimensión de $R^{3}$ .
Respuesta: el plano $x = 0$

Error típico

Calcular la proyección sobre un subespacio proyectando sobre cualquier base de él. Para sumar las proyecciones una por una, la base tiene que ser ortogonal. Si no lo es, primero hay que aplicar Gram-Schmidt.

Practicar

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