Ejercicios: Complemento ortogonal y proyección

2. Planteamos la ecuación. $\langle (x; y; z), (1; 2; 0) \rangle = x + 2y = 0$

3. Despejamos. $x = -2y$, con $y$ y $z$ libres.

4. Escribimos el conjunto. $(-2y; y; z) = y(-2; 1; 0) + z(0; 0; 1)$

5. Concluimos. El complemento ortogonal es el plano generado por $(-2; 1; 0)$ y $(0; 0; 1)$, de dimensión $2$.

Respuesta: es el plano de base $\{(-2; 1; 0), (0; 0; 1)\}$, de dimensión $2$

2. Escribimos la ecuación. $\dim S + \dim S^\perp = 5$

3. Despejamos. $\dim S^\perp = 5 - 2 = 3$

4. Interpretamos. Los dos subespacios juntos reconstruyen todo el espacio, y su intersección es solo el vector nulo.

5. Observamos. Es una suma directa: $S \oplus S^\perp = \mathbb{R}^5$.

Respuesta: la dimensión del complemento ortogonal es $3$

2. Calculamos. $\dfrac{\langle v, u \rangle}{\|u\|^2}u = \dfrac{3}{1}(1; 0; 0) = (3; 0; 0)$

3. Restamos para obtener la perpendicular. $v - (3; 0; 0) = (0; 4; 5)$

4. Verificamos. $\langle (0; 4; 5), (1; 0; 0) \rangle = 0$, así que efectivamente es perpendicular.

5. Interpretamos. Todo vector se descompone de forma única en una parte dentro del subespacio y otra en su complemento ortogonal.

Respuesta: la proyección es $(3; 0; 0)$ y la componente perpendicular es $(0; 4; 5)$

2. Verificamos la suma. Si dos vectores son perpendiculares a todo $S$, su suma también lo es, porque el producto interno distribuye sobre la suma.

3. Verificamos el producto por escalares. Multiplicar por un número saca factor común del producto interno, que sigue dando cero.

4. Concluimos. Se cumplen las tres condiciones, así que el complemento ortogonal siempre es un subespacio.

5. Observamos. Eso vale sin importar qué sea $S$: incluso si $S$ no fuera subespacio, su complemento ortogonal sí lo sería.

Respuesta: porque cumple las tres condiciones: contiene al nulo y es cerrado bajo suma y producto por escalares

2. Planteamos la ecuación. $\langle (x; y; z), (1; 1; 1) \rangle = x + y + z = 0$

3. Despejamos. $x = -y - z$, con $y$ y $z$ libres.

4. Escribimos el conjunto. $(-y - z; y; z) = y(-1; 1; 0) + z(-1; 0; 1)$

5. Concluimos. El complemento ortogonal es el plano $x + y + z = 0$, de base $\{(-1; 1; 0), (-1; 0; 1)\}$ y dimensión $2$.

6. Observamos la regla. El complemento ortogonal de una recta generada por un vector es siempre el plano cuya ecuación tiene a ese vector como coeficientes. Se lee directo, sin cuentas.

Respuesta: es el plano $x + y + z = 0$, de base $\{(-1; 1; 0), (-1; 0; 1)\}$ y dimensión $2$

2. Usamos la relación de dimensiones. $\dim S^\perp = 4 - 4 = 0$.

3. Describimos el resultado. El complemento ortogonal es el subespacio trivial $\{(0; 0; 0; 0)\}$.

4. Lo verificamos directamente. Un vector perpendicular a todos los vectores del espacio es perpendicular a sí mismo, o sea $\langle v, v \rangle = 0$, y eso obliga a $v = 0$.

5. Miramos el caso opuesto. El complemento ortogonal del subespacio trivial es todo el espacio, porque el vector nulo es perpendicular a todo.

6. Sacamos la conclusión. Los dos casos extremos son complementos ortogonales uno del otro, coherente con que las dimensiones sumen $4$.

Respuesta: el complemento ortogonal es el subespacio trivial $\{(0; 0; 0; 0)\}$, de dimensión $0$

2. Calculamos el producto interno. $\langle (2; 3), (1; 1) \rangle = 2 + 3 = 5$.

3. Calculamos la norma al cuadrado. $\|u\|^2 = 1 + 1 = 2$.

4. Armamos la proyección. $\dfrac{5}{2}(1; 1) = \left(\dfrac{5}{2}; \dfrac{5}{2}\right)$.

5. Restamos. $v - \left(\dfrac{5}{2}; \dfrac{5}{2}\right) = \left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$.

6. Verificamos. $\left\langle \left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right), (1; 1) \right\rangle = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0$: es perpendicular.

Respuesta: la proyección es $\left(\dfrac{5}{2}; \dfrac{5}{2}\right)$ y la componente perpendicular es $\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}\right)$

2. Usamos que está en el complemento. Estar en $S^\perp$ significa ser perpendicular a todos los vectores de $S$.

3. Aplicamos eso al propio $v$. Como $v$ también está en $S$, en particular tiene que ser perpendicular a sí mismo: $\langle v, v \rangle = 0$.

4. Usamos la propiedad de la norma. $\langle v, v \rangle = \|v\|^2$, y la norma solo vale cero para el vector nulo.

5. Concluimos. $v = 0$, así que $S \cap S^\perp = \{0\}$.

6. Sacamos la consecuencia. Junto con la relación de dimensiones, esto dice que $S \oplus S^\perp$ es todo el espacio: cada vector se parte de forma única en una parte de $S$ y otra perpendicular a $S$.

Respuesta: es solo el vector nulo, porque un vector de la intersección sería perpendicular a sí mismo y eso obliga a que su norma sea cero

2. Planteamos las condiciones. Un vector $(x; y; z)$ del complemento tiene que ser perpendicular a los dos generadores.

3. Escribimos las ecuaciones. $\langle (x; y; z), (1; 0; 0) \rangle = x = 0$ y $\langle (x; y; z), (0; 1; 0) \rangle = y = 0$.

4. Resolvemos. Los vectores son de la forma $(0; 0; z) = z(0; 0; 1)$.

5. Concluimos. El complemento ortogonal es el eje $z$, de dimensión $1$.

6. Verificamos la relación de dimensiones. $\dim S + \dim S^\perp = 2 + 1 = 3$, la dimensión del espacio, como tiene que ser.

7. Señalamos el punto fino. Alcanza con imponer perpendicularidad contra una base de $S$, no contra todos sus infinitos vectores: si vale con los generadores, vale con toda combinación.

Respuesta: es el eje $z$, generado por $(0; 0; 1)$, de dimensión $1$

2. Usamos la relación. $\dim S + \dim S^\perp = 7$.

3. Despejamos. $\dim S^\perp = 7 - 6 = 1$.

4. Describimos el complemento. Es una recta, generada por el vector de coeficientes de la ecuación.

5. Lo justificamos. Si la ecuación es $a_1x_1 + \dots + a_7x_7 = 0$, esa condición dice exactamente que el vector es perpendicular a $(a_1; \dots; a_7)$.

6. Sacamos la regla. El complemento ortogonal de un hiperplano es siempre la recta generada por su vector de coeficientes, sin importar la dimensión del espacio.

Respuesta: la dimensión del complemento ortogonal es $1$: la recta generada por el vector de coeficientes de la ecuación

2. Usamos que la base es ortonormal. Con base ortonormal, la proyección es la suma de las proyecciones sobre cada vector.

3. Proyectamos sobre el primero. $\langle v, (1; 0; 0) \rangle (1; 0; 0) = 1 \cdot (1; 0; 0) = (1; 0; 0)$.

4. Proyectamos sobre el segundo. $\langle v, (0; 1; 0) \rangle (0; 1; 0) = 2 \cdot (0; 1; 0) = (0; 2; 0)$.

5. Sumamos. La proyección sobre el plano es $(1; 2; 0)$.

6. Restamos y verificamos. $v - (1; 2; 0) = (0; 0; 3)$, que está sobre el eje $z$, el complemento ortogonal del plano. Es perpendicular a los dos generadores.

7. Leemos el resultado. Proyectar sobre el plano $z = 0$ es simplemente borrar la tercera coordenada. La cuenta lo confirma.

Respuesta: la proyección es $(1; 2; 0)$ y la componente perpendicular es $(0; 0; 3)$

2. Tomamos un vector cualquiera del lado chico. Sea $v \in T^\perp$, o sea $\langle v, t \rangle = 0$ para todo $t \in T$.

3. Tomamos un vector de $S$. Sea $s \in S$. Como $S \subseteq T$, ese mismo $s$ también está en $T$.

4. Aplicamos la hipótesis. Al estar $s$ en $T$, vale $\langle v, s \rangle = 0$.

5. Concluimos. $v$ es perpendicular a todo vector de $S$, así que $v \in S^\perp$. Como $v$ era cualquiera, $T^\perp \subseteq S^\perp$.

6. Interpretamos. Cuanto más grande el subespacio, más exigente es la condición de perpendicularidad y más chico queda el complemento. Es coherente con que las dimensiones sumen siempre lo mismo.

Respuesta: queda demostrado: un vector perpendicular a todo $T$ lo es en particular a los vectores de $S$, que están dentro de $T$