Ejercicios: Qué es una transformación lineal

2. Verificamos la suma. Aplicando $T$ a la suma de dos vectores y desarrollando, cada componente queda como suma de las componentes correspondientes, porque todas las expresiones son lineales.

3. Verificamos el producto por escalar. $T(kx; ky) = (2kx - 3ky; kx) = k\,T(x; y)$

4. Concluimos. Las dos condiciones se cumplen, así que $T$ es lineal.

5. Damos el criterio rápido. Una transformación es lineal cuando cada componente es una combinación lineal de las variables, sin términos independientes ni potencias.

Respuesta: sí es una transformación lineal

2. Evaluamos en el nulo. $T(0; 0) = (0 + 0 + 1; 0) = (1; 0)$

3. Comparamos. El resultado no es el vector nulo, porque $1 \neq 0$.

4. Concluimos. $T$ no es lineal.

5. Explicamos por qué. El término independiente $1$ es lo que rompe la linealidad. Una función así se llama afín, no lineal.

Respuesta: no es lineal: no manda el vector nulo al vector nulo

2. Buscamos un contraejemplo con escalares. Tomamos $v = (2; 0)$ y $k = 3$.

3. Calculamos los dos lados. $T(3v) = T(6; 0) = (36; 0)$, pero $3\,T(v) = 3(4; 0) = (12; 0)$.

4. Comparamos. Los dos resultados son distintos, así que no se respeta el producto por escalares.

5. Concluimos. $T$ no es lineal. Cualquier potencia distinta de uno rompe la linealidad.

Respuesta: no es lineal: no respeta el producto por escalares

2. Elegimos un valor conveniente. Tomamos $k = 0$.

3. Reemplazamos. $T(0 \cdot v) = 0 \cdot T(v)$, o sea $T(0) = 0$.

4. Concluimos. El vector nulo siempre va a parar al vector nulo.

5. Damos el uso práctico. Es el criterio más rápido para descartar: si una transformación no manda el nulo al nulo, no es lineal y no hace falta verificar nada más.

Respuesta: $T(0) = 0$ siempre, porque $T(0 \cdot v) = 0 \cdot T(v)$

2. Verificamos la suma. Aplicando $T$ a la suma de dos vectores y desarrollando, cada componente queda como suma de las componentes correspondientes, porque todas las expresiones son lineales.

3. Verificamos el producto por escalar. $T(kx; ky) = (-1kx + 4ky; kx) = k\,T(x; y)$

4. Concluimos. Las dos condiciones se cumplen, así que $T$ es lineal.

5. Damos el criterio rápido. Una transformación es lineal cuando cada componente es una combinación lineal de las variables, sin términos independientes ni potencias.

Respuesta: sí es una transformación lineal

2. Evaluamos en el nulo. $T(0; 0) = (0 + 0 + 5; 0) = (5; 0)$

3. Comparamos. El resultado no es el vector nulo, porque $5 \neq 0$.

4. Concluimos. $T$ no es lineal.

5. Explicamos por qué. El término independiente $5$ es lo que rompe la linealidad. Una función así se llama afín, no lineal.

Respuesta: no es lineal: no manda el vector nulo al vector nulo

2. Evaluamos en el nulo. $T(0; 0) = (0 + 1; 0) = (1; 0)$.

3. Comparamos. $(1; 0) \neq (0; 0)$, así que ya queda descartada.

4. Concluimos. $T$ no es lineal.

5. Lo confirmamos con la suma. $T((1;0) + (2;0)) = T(3; 0) = (4; 0)$, pero $T(1;0) + T(2;0) = (2;0) + (3;0) = (5; 0)$.

6. Damos la regla. El término independiente es lo que rompe todo. Una función así se llama afín, no lineal: es una lineal corrida.

Respuesta: no es lineal: manda el nulo a $(1; 0)$ en vez de al nulo

2. Elegimos el escalar. Tomamos $k = -1$, y usamos que $-v = (-1)v$.

3. Reemplazamos. $T(-v) = T((-1)v) = (-1)T(v) = -T(v)$.

4. Concluimos. La imagen del opuesto es el opuesto de la imagen.

5. Sacamos una consecuencia. Combinando con la suma, $T(u - v) = T(u) - T(v)$: la linealidad también respeta la resta.

6. Damos el uso práctico. Sirve como criterio de descarte igual que $T(0) = 0$: si en algún vector la imagen del opuesto no es el opuesto de la imagen, la transformación no es lineal.

Respuesta: $T(-v) = -T(v)$, porque $-v = (-1)v$ y el escalar sale afuera

2. Verificamos la suma. Aplicando $T$ a la suma de dos vectores y desarrollando, cada componente queda como suma de las componentes correspondientes, porque todas las expresiones son lineales.

3. Verificamos el producto por escalar. $T(kx; ky) = (1kx - 2ky; kx) = k\,T(x; y)$

4. Concluimos. Las dos condiciones se cumplen, así que $T$ es lineal.

5. Damos el criterio rápido. Una transformación es lineal cuando cada componente es una combinación lineal de las variables, sin términos independientes ni potencias.

Respuesta: sí es una transformación lineal

2. Evaluamos en el nulo. $T(0; 0) = (0 + 0 + 3; 0) = (3; 0)$

3. Comparamos. El resultado no es el vector nulo, porque $3 \neq 0$.

4. Concluimos. $T$ no es lineal.

5. Explicamos por qué. El término independiente $3$ es lo que rompe la linealidad. Una función así se llama afín, no lineal.

Respuesta: no es lineal: no manda el vector nulo al vector nulo

2. Buscamos un contraejemplo con escalares. Tomamos $v = (2; 0)$ y $k = -1$.

3. Calculamos los dos lados. $T(-v) = T(-2; 0) = (2; 0)$, pero $-T(v) = -(2; 0) = (-2; 0)$.

4. Comparamos. Los dos resultados son distintos, así que no se respeta el producto por escalares.

5. Concluimos. $T$ no es lineal.

6. Señalamos la trampa. Con escalares positivos la propiedad sí se cumple, y el nulo va al nulo. Si solo se prueban casos positivos, parece lineal. Los contraejemplos hay que buscarlos con signos negativos.

Respuesta: no es lineal: falla el producto por escalares negativos

2. Tomamos un vector cualquiera. Todo $v$ del dominio se escribe como $v = \alpha_1 b_1 + \dots + \alpha_n b_n$, y esas coordenadas son únicas por ser una base.

3. Aplicamos la linealidad a la suma. $T(v) = T(\alpha_1 b_1) + \dots + T(\alpha_n b_n)$.

4. Sacamos los escalares. $T(v) = \alpha_1 T(b_1) + \dots + \alpha_n T(b_n)$.

5. Concluimos. La imagen de cualquier vector queda escrita en función de las imágenes de la base, así que no hay libertad: la transformación está determinada.

6. Sacamos las dos consecuencias. Para definir una transformación lineal alcanza con decir qué hace en una base, y por eso la matriz asociada, que junta esas imágenes en columnas, contiene toda la información.

Respuesta: queda determinada: escribiendo $v$ en la base, la linealidad obliga a que $T(v)$ sea la misma combinación de las imágenes