Qué es una transformación lineal

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que respeta las dos operaciones: la suma y el producto por escalares.

Respetar la suma significa que transformar una suma da lo mismo que transformar cada sumando y después sumar. Respetar el producto significa que las constantes salen afuera.

Esas dos condiciones se pueden juntar en una sola: la transformación de una combinación lineal es la combinación lineal de las transformaciones, con los mismos coeficientes.

En la práctica se reconocen fácil. Si la fórmula tiene solo términos lineales en las variables, sin términos independientes, sin cuadrados ni productos entre variables, es lineal.

El chequeo más rápido es evaluar en el vector nulo. Toda transformación lineal manda el nulo al nulo, así que si eso no pasa, ya está descartada.

Las transformaciones lineales son las funciones que preservan la estructura de espacio vectorial, y por eso son las que interesan en toda el álgebra lineal.

T(u + v) = T(u) + T(v) y T(k u) = k T(u)

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide verificar si una función es lineal. Evaluá primero en el vector nulo: si no da nulo, no es lineal. Si da nulo, chequeá las dos condiciones o mirá si la fórmula tiene solo términos de primer grado.

Ejemplo 1

Verificar que $T(x, y) = (2x, x + 3y)$ es lineal.

Pasamos el filtro del vector nulo. $T(0, 0) = (0, 0)$ , así que sigue en carrera.
Probamos la suma. Con $u = (a, b)$ y $v = (c, d)$ , $T(u + v) = (2(a + c), (a + c) + 3(b + d))$ , que es $T(u) + T(v)$ distribuyendo.
Probamos el escalar. $T(k u) = (2ka, ka + 3kb) = k(2a, a + 3b) = k T(u)$ . Las dos condiciones valen: es lineal.
Respuesta: sí, es lineal

Ejemplo 2

Decidir si $T(x, y) = (x + 1, y)$ es lineal.

Aplicamos el filtro. $T(0, 0) = (1, 0)$ .
Comparamos con lo que se pide. Una transformación lineal manda el vector nulo al vector nulo, y esta lo manda a $(1, 0)$ .
Concluimos. No es lineal. Con un solo contraejemplo alcanza y este es inmediato: no hizo falta probar la suma.
Respuesta: no es lineal

Error típico

Confundir lineal con afín. La función $T(x, y) = (x + 1, y)$ parece inofensiva y no es lineal: mueve el origen. En álgebra lineal, cualquier término independiente rompe la linealidad.

Practicar

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