Núcleo

El núcleo de una transformación lineal es el conjunto de vectores que van a parar al vector nulo. Es lo que la transformación aplasta.

Siempre es un subespacio del espacio de partida, y nunca es vacío, porque el vector nulo siempre pertenece.

Para calcularlo se plantea la transformación igualada al vector nulo y se resuelve el sistema homogéneo que queda. Las soluciones son el núcleo.

Su tamaño dice mucho sobre la transformación. Si el núcleo contiene solo al vector nulo, la transformación es inyectiva: vectores distintos van a imágenes distintas.

Si el núcleo es más grande, hay información que se pierde: infinitos vectores comparten la misma imagen, y no hay forma de recuperar cuál era el original.

Esa equivalencia entre núcleo trivial e inyectividad es específica de las transformaciones lineales. Para funciones cualesquiera no vale, y es una de las cosas que hace especiales a estas.

\operatorname{Nu}(T) =

{ v:

T(v) = 0

}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide el núcleo o pregunta si la transformación es inyectiva. Igualá la transformación al vector nulo y resolvé el sistema homogéneo. Núcleo trivial significa inyectiva.

Ejemplo 1

Hallar el núcleo de $T(x, y) = (x + y, 2x + 2y)$ .

Planteamos el sistema homogéneo. $x + y = 0$ y $2x + 2y = 0$ , que es la misma ecuación repetida.
Resolvemos con un parámetro. Despejando $y = -x$ . Con $x = t$ queda $(t, -t)$ .
Contestamos. El núcleo es la recta $gen{(1, -1)}$ , de dimensión $1$ . Como no es trivial, $T$ no es inyectiva.
Respuesta: $Nu(T) = gen{(1, -1)}$

Ejemplo 2

Hallar el núcleo de $T(x, y) = (2x, x + 3y)$ .

Planteamos el sistema. $2x = 0$ y $x + 3y = 0$ .
Resolvemos. De la primera $x = 0$ , y reemplazando en la segunda $3y = 0$ , o sea $y = 0$ .
Contestamos. El núcleo es solo ${(0, 0)}$ , de dimensión $0$ : la transformación es inyectiva.
Respuesta: el núcleo es trivial

Error típico

Resolver el sistema con términos independientes. El núcleo sale siempre de igualar a cero. Con cualquier otro valor el conjunto ni siquiera sería un subespacio.

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

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