Método

Isomorfismos e inversa

Un isomorfismo es una transformación lineal que es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Establece una correspondencia perfecta entre los dos espacios.

Cuando existe un isomorfismo, los dos espacios son esencialmente el mismo desde el punto de vista del álgebra lineal: todo lo que vale en uno vale en el otro.

Dos espacios de dimensión finita son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. Eso significa que la dimensión es lo único que realmente distingue a un espacio de otro.

Por eso todo espacio de dimensión tres es isomorfo a las ternas de números, y trabajar con matrices de dos por dos es lo mismo que trabajar con cuaternas.

Un isomorfismo tiene inversa, que también es lineal, y su matriz es la inversa de la matriz original.

Para verificar si una transformación es isomorfismo hay un atajo cuando los dos espacios tienen la misma dimensión: alcanza con que el determinante de su matriz no sea cero.

isomorfismo   ⟺  det⁡A≠0\iff \det A \neq 0
Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta si una transformación es isomorfismo o pide su inversa. Si dominio y codominio tienen la misma dimensión, alcanza con que el determinante de la matriz no sea cero.

Ejemplo 1

Decidir si T(x,y)=(2x,x+3y)T(x, y) = (2x, x + 3y) es un isomorfismo y hallar su inversa.

Calculamos el determinante de su matriz. De [2013]\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}
sale 2⋅3⋅1=62 \cdot 3 \cdot 1 = 6, distinto de cero.
Concluimos que lo es. Con determinante no nulo, la transformación es biyectiva.
Invertimos la matriz. Intercambiando la diagonal y cambiando el signo de la otra queda [30−12]\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}
dividido por 66.
Respuesta: sí, y T−1T^{-1} tiene matriz 16[30−12]\tfrac{1}{6}\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

Ejemplo 2

Decidir si T(x,y)=(x+y,2x+2y)T(x, y) = (x + y, 2x + 2y) es un isomorfismo.

Armamos la matriz. Es [1122]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}.
Calculamos el determinante. 1⋅2−1⋅2=01 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0.
Concluimos. No es isomorfismo. Coincide con lo que ya sabíamos: su núcleo era una recta entera, así que no era inyectiva.
Respuesta: no lo es

Error típico

Usar las tres condiciones equivalentes entre espacios de distinta dimensión. Ahí no valen: una TL de R3R^{3} en R2R^{2} puede ser sobreyectiva y nunca es inyectiva, y su matriz ni siquiera tiene determinante.

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