Autovalores y autovectores

Un autovector es un vector no nulo que al aplicarle la transformación queda en la misma dirección, apenas estirado o achicado. El factor por el que se multiplica es el autovalor.

Son las direcciones que la transformación no rota. Todo lo demás cambia de dirección, pero esas quedan sobre la misma recta.

La condición de que el autovector sea no nulo es esencial. El vector nulo cumpliría la ecuación con cualquier número, y eso haría que la definición no sirviera para nada.

En cambio el autovalor sí puede ser cero. Eso significa que hay vectores no nulos que van a parar al nulo, o sea que el núcleo no es trivial y la matriz no es inversible.

Los autovalores concentran mucha información sobre la transformación. Su signo dice si la dirección se conserva o se invierte, y su tamaño si se estira o se comprime.

Todo múltiplo no nulo de un autovector también es autovector con el mismo autovalor. Por eso los autovectores nunca son únicos: lo que está determinado es la dirección.

A v = \lambda v

, con

v \neq 0

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide autovalores y autovectores, o pregunta si la matriz es diagonalizable. Es el punto de partida de todo lo que sigue en el volumen.

Ejemplo 1

Verificar que $(1, 1)$ es autovector de $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ y hallar su autovalor.

Multiplicamos la matriz por el vector. Primera componente $2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3$ y segunda $1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3$ .
Comparamos con el original. $(3, 3)$ es $3$ veces $(1, 1)$ .
Contestamos. Es autovector y su autovalor es $\lambda = 3$ .
Respuesta: $\lambda = 3$

Ejemplo 2

Verificar que $(1, -1)$ es autovector de la misma matriz.

Multiplicamos. Primera componente $2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 1$ y segunda $1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = -1$ .
Comparamos. $(1, -1)$ es $1$ vez el vector original: quedó igual.
Contestamos. Es autovector con $\lambda = 1$ . La transformación lo deja quieto, que es un caso particular de no girarlo.
Respuesta: $\lambda = 1$

Error típico

Contestar que el vector nulo es autovector. Cumple la igualdad con cualquier número, y justamente por eso la definición lo excluye: si entrara, todo número sería autovalor de toda matriz.

Practicar

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