Autoespacios y multiplicidades

El autoespacio asociado a un autovalor es el conjunto de todos los autovectores de ese autovalor, junto con el vector nulo. Siempre es un subespacio.

Para hallarlo se resuelve el sistema homogéneo que resulta de restarle el autovalor a la diagonal. Las soluciones forman el autoespacio.

Hay dos multiplicidades que conviene distinguir. La algebraica es cuántas veces aparece el autovalor como raíz del polinomio característico. La geométrica es la dimensión del autoespacio.

La geométrica siempre es al menos uno, porque todo autovalor tiene al menos un autovector. Y nunca supera a la algebraica.

Cuando las dos coinciden para todos los autovalores, la matriz es diagonalizable. Cuando alguna geométrica es menor que su algebraica, no lo es.

Ese es el criterio definitivo de diagonalización, y por eso calcular las dos multiplicidades es el trabajo central de los ejercicios del tema.

multiplicidad geométrica

\leq

multiplicidad algebraica

Cuándo se usa

Cuando hay un autovalor repetido y hay que decidir si la matriz es diagonalizable. Resolvé el sistema para ese autovalor y contá la dimensión del autoespacio: si es menor que la multiplicidad algebraica, no diagonaliza.

Ejemplo 1

Hallar las multiplicidades de $\lambda = 2$ en $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ .

Miramos el polinomio característico. Es $(2 - \lambda )^{2}$ , así que $\lambda = 2$ tiene multiplicidad algebraica $2$ .
Calculamos el autoespacio. $A - 2I$ es $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ , y el sistema pide $y = 0$ .
Contamos la dimensión. Los autovectores son los $(t, 0)$ , una recta: la multiplicidad geométrica es $1$ , menor que la algebraica.
Respuesta: algebraica $2$ , geométrica $1$

Ejemplo 2

Hallar las multiplicidades de $\lambda = 2$ en $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ .

El polinomio es el mismo. $(2 - \lambda )^{2}$ , con multiplicidad algebraica $2$ .
Calculamos el autoespacio. $A - 2I$ es la matriz nula, así que el sistema no impone ninguna condición.
Contamos. Todos los vectores del plano son autovectores: la multiplicidad geométrica es $2$ y coincide con la algebraica.
Respuesta: las dos valen $2$

Error típico

Suponer que un autovalor de multiplicidad $2$ tiene siempre un autoespacio de dimensión $2$ . Hay que calcularlo: es el espacio nulo de $A - \lambda I y$ puede tener dimensión $1$ .

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

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