Definida sobre una base

Una transformación lineal queda completamente determinada por lo que le hace a los vectores de una base. Ese es uno de los resultados más útiles del volumen.

La razón es directa: cualquier vector se escribe como combinación lineal de la base, y como la transformación respeta combinaciones lineales, su imagen sale de combinar las imágenes de la base con los mismos coeficientes.

Eso significa que para definir una transformación alcanza con decir qué hace con unos pocos vectores, en vez de dar una fórmula general.

Muchos ejercicios funcionan así: dan las imágenes de una base y piden la imagen de otro vector, o la fórmula general.

El procedimiento es siempre el mismo. Se escriben las coordenadas del vector buscado en esa base, resolviendo un sistema, y después se combinan las imágenes con esos coeficientes.

Un detalle importante: los vectores sobre los que se define tienen que formar una base. Si son dependientes, las condiciones pueden contradecirse y la transformación no existir.

T(a b_{1} + b b_{2}) = a T(b_{1}) + b T(b_{2})

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da las imágenes de unos vectores y pide la de otro. Escribí el vector como combinación lineal de esos, y combiná las imágenes con los mismos coeficientes.

Ejemplo 1

Con $T(1, 0) = (2, 1)$ y $T(0, 1) = (0, 3)$ , hallar $T(3, 2)$ .

Escribimos el vector en la base. $(3, 2) = 3(1, 0) + 2(0, 1)$ .
Aplicamos la linealidad. $T(3, 2) = 3 T(1, 0) + 2 T(0, 1) = 3(2, 1) + 2(0, 3)$ .
Resolvemos. $(6, 3) + (0, 6) = (6, 9)$ .
Respuesta: $T(3, 2) = (6, 9)$

Ejemplo 2

Con $T(1, 1) = (4, 0)$ y $T(1, -1) = (0, 2)$ , hallar $T(1, 0)$ .

Escribimos el vector en la base dada. Buscamos $a$ y $b$ con $a(1, 1) + b(1, -1) = (1, 0)$ .
Resolvemos el sistema. $a + b = 1$ y $a - b = 0$ dan $a = b = 1/2$ .
Aplicamos la linealidad. $T(1, 0) = (1/2)(4, 0) + (1/2)(0, 2) = (2, 1)$ .
Respuesta: $T(1, 0) = (2, 1)$

Error típico

Usar los datos como si fueran una fórmula. Que $T(1, 0) = (2, 1)$ no significa que T sume $1 a$ la primera componente: significa que ese vector es la primera columna de la matriz.

Practicar

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