Formas cuadráticas

Una forma cuadrática es un polinomio donde todos los términos tienen grado dos: cuadrados de las variables o productos de dos variables distintas.

Lo importante es que toda forma cuadrática se puede escribir con una matriz simétrica. Los coeficientes de los cuadrados van en la diagonal, y los de los productos cruzados se reparten en dos mitades iguales fuera de ella.

Ese repartir por la mitad es lo que garantiza la simetría, y es donde más se falla.

Escrita así, la forma se estudia con lo que ya se sabe de matrices, y los autovalores dicen todo sobre su signo.

Es definida positiva si vale más que cero para todo vector no nulo, y eso pasa exactamente cuando todos los autovalores son positivos. Es definida negativa si todos son negativos, e indefinida si hay de los dos signos.

Hay otro criterio a veces más rápido: el de los menores principales, que mira los determinantes de las submatrices que arrancan en la esquina superior izquierda.

Clasificar una forma cuadrática es clasificar la cónica o la cuádrica que define.

Q(x) = x^{T} A x, \quad A = A^{T}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da un polinomio de grado dos y pide clasificarlo, o cuando hay que identificar una cónica con término cruzado. Armá la matriz simétrica repartiendo el coeficiente cruzado por la mitad.

Ejemplo 1

Escribir la matriz simétrica de $Q(x,y) = 2x^{2} + 6xy + 5y^{2}$ .

Ubicamos los coeficientes de los cuadrados en la diagonal. Van $2$ y $5$ .
Tomamos el coeficiente del término cruzado. Es $6$ .
Lo repartimos por mitades. Van $3$ arriba a la derecha y $3$ abajo a la izquierda.
Verificamos desarrollando. El producto da $2x^{2} + 3xy + 3yx + 5y^{2}$ , que coincide.
Respuesta: $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Clasificar la forma cuadrática de matriz $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ .

Miramos la matriz. Es diagonal, así que los autovalores son los elementos de la diagonal.
Identificamos los autovalores. Son $3$ y $2$ .
Miramos los signos. Los dos son positivos.
Aplicamos el criterio.
Respuesta: definida positiva

Error típico

Poner el coeficiente completo del término cruzado fuera de la diagonal. Va la mitad en cada lado, porque el producto aparece dos veces al desarrollar.

Practicar

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