Propiedades de los autovalores

Los autovalores tienen propiedades que ahorran cuentas y aparecen en muchos ejercicios teóricos.

La suma de todos, contados con su multiplicidad, es la traza de la matriz. El producto de todos es el determinante. Son los dos chequeos más rápidos que existen.

Una matriz es inversible si y solo si el cero no es autovalor. Eso conecta directamente con que el determinante, que es el producto de los autovalores, no sea cero.

Al elevar una matriz a una potencia, los autovalores se elevan a esa misma potencia y los autovectores no cambian. Esa propiedad es la que hace útil la diagonalización para calcular potencias.

Los autovalores de la inversa son los inversos de los originales, con los mismos autovectores.

Autovectores correspondientes a autovalores distintos siempre son independientes. De ahí sale un criterio muy usado: si todos los autovalores son distintos entre sí, la matriz es diagonalizable sin necesidad de calcular multiplicidades.

suma

=

traza, producto

=

determinante

Cuándo se usa

Como chequeo después de calcular autovalores: la suma tiene que dar la traza y el producto el determinante. Si todos los autovalores son distintos, ya sabés que la matriz diagonaliza.

Ejemplo 1

Verificar los autovalores $1$ y $3$ de $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ con las dos relaciones.

Calculamos traza y determinante. Traza $2 + 2 = 4$ y determinante $2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3$ .
Sumamos y multiplicamos los autovalores. $1 + 3 = 4$ y $1 \cdot 3 = 3$ .
Concluimos. Las dos coinciden, así que los autovalores están bien calculados.
Respuesta: los dos controles cierran

Ejemplo 2

Hallar los autovalores de $\begin{bmatrix} 5 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$ .

Miramos la forma de la matriz. Todo lo que está debajo de la diagonal es cero: es triangular.
Aplicamos la propiedad. Los autovalores son los elementos de la diagonal: $5$ , $3$ y $4$ .
Controlamos. Suman $12$ , que es la traza, y multiplican $60$ , que es el determinante de una triangular.
Respuesta: $5$ , $3$ y $4$

Error típico

Sumar los autovalores sin contar las multiplicidades. Si un autovalor es doble, entra dos veces en la suma y dos veces en el producto. Es el error que hace fallar el control sin motivo.

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .