Teorema de la dimensión

El teorema de la dimensión dice que la dimensión del dominio es igual a la del núcleo más la de la imagen.

La intuición es que cada dimensión del dominio o se aplasta, y va al núcleo, o sobrevive, y va a la imagen. No hay una tercera opción.

Es la herramienta que más ahorra trabajo del volumen. Calculando una de las dos dimensiones se obtiene la otra sin cuentas nuevas, y casi siempre una es más fácil que la otra.

En general conviene calcular el núcleo primero, porque sale de resolver un sistema homogéneo, y después deducir la dimensión de la imagen restando.

El teorema también sirve para descartar posibilidades. Si el dominio tiene dimensión tres y el codominio dimensión cinco, la imagen no puede tener más de tres, así que la transformación no puede ser sobreyectiva.

Cuando dominio y codominio tienen la misma dimensión, el teorema implica que inyectiva y sobreyectiva son equivalentes: si vale una, vale la otra.

\dim \operatorname{Nu}(T) + \dim \operatorname{Im}(T) = \dim

del dominio

Cuándo se usa

Siempre que hayas calculado el núcleo o la imagen: la otra dimensión sale restando. También sirve como chequeo, y para descartar inyectividad o sobreyectividad solo comparando dimensiones.

Ejemplo 1

Una transformación de $R^{3}$ en $R^{2}$ tiene núcleo de dimensión $1$ . Hallar la dimensión de la imagen.

Escribimos el teorema con los datos. $1 + \dim Im = 3$ , porque el dominio es $R^{3}$ .
Despejamos. $\dim Im = 2$ .
Interpretamos. La imagen tiene dimensión $2$ dentro de $R^{2}$ , así que es todo $R^{2}$ : la transformación es sobreyectiva.
Respuesta: $\dim Im = 2$

Ejemplo 2

Decidir si $T(x, y, z) = (x + y, z)$ puede ser inyectiva.

Miramos las dimensiones en juego. El dominio es $R^{3}$ y la imagen vive en $R^{2}$ , así que su dimensión es a lo sumo $2$ .
Aplicamos el teorema. $\dim Nu = 3 - \dim Im \geq 1$ .
Concluimos. El núcleo no puede ser trivial, así que la transformación no es inyectiva. No hizo falta calcularlo.
Respuesta: no puede ser inyectiva

Error típico

Usar la dimensión del espacio de llegada en la fórmula. El teorema reparte la dimensión del dominio. Con T de $R^{3}$ en $R^{2}$ , lo que se reparte es $3 y$ no $2$ .

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .