Ejercicios: Teorema de la dimensión

2. Identificamos los datos. El dominio es $\mathbb{R}^5$, así que su dimensión es $5$, y el núcleo tiene dimensión $2$.

3. Despejamos. $\dim(\operatorname{Im}) = 5 - 2 = 3$

4. Verificamos que sea posible. La imagen está dentro de $\mathbb{R}^3$, que tiene dimensión $3$, así que el resultado es coherente.

5. Interpretamos. La imagen es todo el codominio, así que la transformación es sobreyectiva.

Respuesta: la dimensión de la imagen es $3$

2. Aplicamos el teorema. $3 = 0 + \dim(\operatorname{Im})$

3. Despejamos. $\dim(\operatorname{Im}) = 3$

4. Vemos si puede ser sobreyectiva. El codominio tiene dimensión $4$, y la imagen solo $3$, así que no lo es.

5. Generalizamos. Ninguna transformación lineal de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{R}^4$ puede ser sobreyectiva: la imagen nunca supera la dimensión del dominio.

Respuesta: la dimensión de la imagen es $3$, y la transformación no es sobreyectiva

2. Acotamos la imagen. Como la dimensión del núcleo nunca es negativa, la de la imagen es como mucho $2$.

3. Comparamos con el codominio. Para ser sobreyectiva la imagen tendría que tener dimensión $3$, que es la de $\mathbb{R}^3$.

4. Concluimos. Es imposible: la imagen no puede pasar de $2$.

5. Generalizamos. Una transformación lineal nunca puede ser sobreyectiva si el dominio tiene menor dimensión que el codominio.

Respuesta: no puede existir: la imagen no puede tener dimensión mayor que $2$

2. Traducimos ese dato. Núcleo trivial significa que la transformación es inyectiva.

3. Miramos la imagen. Tiene dimensión $4$, igual que el codominio, así que la imagen es todo $\mathbb{R}^4$ y la transformación es sobreyectiva.

4. Concluimos. Es inyectiva y sobreyectiva a la vez, así que es un isomorfismo.

5. Observamos. Cuando dominio y codominio tienen la misma dimensión, inyectiva y sobreyectiva son equivalentes: con probar una alcanza.

Respuesta: sí es un isomorfismo

2. Identificamos los datos. El dominio tiene dimensión $6$ y el núcleo dimensión $3$.

3. Despejamos. $\dim(\operatorname{Im}) = 6 - 3 = 3$.

4. Comparamos con el codominio. El codominio es $\mathbb{R}^4$, de dimensión $4$, y la imagen tiene dimensión $3$.

5. Concluimos. La imagen es un subespacio propio de $\mathbb{R}^4$: la transformación no es sobreyectiva.

6. Vemos cuánto falta. Le falta exactamente una dimensión. Si el núcleo tuviera dimensión $2$ en vez de $3$, la imagen llegaría a $4$ y sí sería sobreyectiva.

Respuesta: la dimensión de la imagen es $3$, y la transformación no es sobreyectiva

2. Aplicamos el teorema. $2 = 0 + \dim(\operatorname{Im})$.

3. Despejamos. $\dim(\operatorname{Im}) = 2$.

4. Interpretamos. La imagen es un plano dentro de $\mathbb{R}^7$: una copia fiel de $\mathbb{R}^2$ metida en un espacio mucho más grande.

5. Vemos qué queda afuera. El codominio tiene dimensión $7$, así que casi todo $\mathbb{R}^7$ queda sin alcanzar.

6. Sacamos la regla. La imagen nunca puede tener dimensión mayor que el dominio, sin importar cuán grande sea el codominio.

Respuesta: la dimensión de la imagen es $2$

2. Acotamos la imagen. La imagen está dentro de $\mathbb{R}^2$, así que su dimensión es a lo sumo $2$.

3. Despejamos el núcleo. $\dim(\text{núcleo}) = 4 - \dim(\operatorname{Im}) \geq 4 - 2 = 2$.

4. Traducimos. El núcleo tiene dimensión al menos $2$, así que nunca es trivial.

5. Concluimos. No puede existir: toda transformación lineal de $\mathbb{R}^4$ en $\mathbb{R}^2$ aplasta al menos un plano.

6. Damos la regla. Ninguna transformación lineal puede ser inyectiva si el dominio tiene mayor dimensión que el codominio. No hay lugar donde meter todo sin superponer.

Respuesta: no puede existir: el núcleo tendría dimensión al menos $2$

2. Aplicamos el teorema. $3 = 0 + \dim(\operatorname{Im})$, así que la imagen tiene dimensión $3$.

3. Comparamos con el codominio. El codominio también tiene dimensión $3$, y un subespacio con la misma dimensión que el espacio que lo contiene es todo el espacio.

4. Concluimos sobre la sobreyectividad. La imagen es todo $\mathbb{R}^3$: es sobreyectiva.

5. Concluimos. Es inyectiva y sobreyectiva, así que es un isomorfismo.

6. Damos el criterio práctico. Entre espacios de la misma dimensión, alcanza con verificar que el núcleo sea trivial, o equivalentemente que el determinante de la matriz asociada no sea cero.

Respuesta: sí es un isomorfismo

2. Despejamos. $\dim(\operatorname{Im}) = 4 - 1 = 3$.

3. Evaluamos la inyectividad. El núcleo tiene dimensión $1$, así que no es trivial: la transformación no es inyectiva.

4. Evaluamos la sobreyectividad. La imagen tiene dimensión $3$ y el codominio $4$, así que tampoco es sobreyectiva.

5. Concluimos. No es un isomorfismo: le falla la inyectividad y la sobreyectividad a la vez.

6. Damos la regla. Cuando dominio y codominio tienen la misma dimensión, las dos propiedades se caen o se cumplen juntas. Nunca puede pasar que una valga y la otra no.

Respuesta: la dimensión de la imagen es $3$, y no es un isomorfismo

2. Aplicamos el teorema. $5 = \dim(\text{núcleo}) + 2$.

3. Despejamos. $\dim(\text{núcleo}) = 3$.

4. Interpretamos. La transformación aplasta un subespacio de dimensión $3$ contra el vector nulo.

5. Descartamos la inyectividad. Con núcleo de dimensión $3$ no puede ser inyectiva, así que tampoco es un isomorfismo.

6. Damos la regla simétrica. De $\mathbb{R}^5$ a $\mathbb{R}^2$ ninguna transformación puede ser inyectiva, igual que de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^5$ ninguna puede ser sobreyectiva.

Respuesta: la dimensión del núcleo es $3$

2. Reemplazamos los datos. El lado izquierdo vale $3$. El lado derecho, con las dos dimensiones que da el enunciado, vale $2 + 2 = 4$.

3. Comparamos. $3 \neq 4$: la igualdad no se cumple.

4. Concluimos. No puede existir. Las dos dimensiones tienen que sumar exactamente $3$.

5. Enumeramos los casos posibles. Núcleo $0$ e imagen $3$, núcleo $1$ e imagen $2$, núcleo $2$ e imagen $1$, o núcleo $3$ e imagen $0$. No hay más opciones.

6. Damos el uso práctico. El teorema sirve tanto para calcular una dimensión como para descartar datos imposibles antes de ponerse a buscar la transformación.

Respuesta: no puede existir: las dimensiones del núcleo y la imagen tienen que sumar $3$, no $4$

2. Miramos la imagen. La imagen está generada por las columnas. Si son dependientes, generan un subespacio de dimensión menor que $3$.

3. Concluimos sobre la sobreyectividad. La imagen no es todo $\mathbb{R}^3$: no es sobreyectiva.

4. Aplicamos el teorema. Con imagen de dimensión menor que $3$, el núcleo tiene dimensión al menos $1$: tampoco es inyectiva.

5. Concluimos. No es un isomorfismo.

6. Cerramos el criterio. Para una transformación de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^n$, ser isomorfismo equivale a que el determinante de la matriz asociada no sea cero. Es la forma más rápida de decidirlo.

Respuesta: no es un isomorfismo: con determinante cero no es inyectiva ni sobreyectiva