Ejercicios: Imagen

2. Escribimos la imagen genérica. $T(x; y) = (x + y)(1; 2)$, sacando factor común.

3. Vemos qué se puede obtener. Como $x + y$ puede tomar cualquier valor real, se alcanzan todos los múltiplos de $(1; 2)$.

4. Concluimos. La imagen es la recta generada por $(1; 2)$, de dimensión $1$.

5. Verificamos con el teorema. El núcleo tenía dimensión $1$, y $1 + 1 = 2$, que es la dimensión del dominio.

Respuesta: la imagen es la recta generada por $(1; 2)$, de dimensión $1$

2. Recordamos qué genera la imagen. La imagen está generada por las columnas de la matriz asociada.

3. Verificamos si son independientes. $\det(A) = 5 \neq 0$, así que las dos columnas son independientes.

4. Concluimos. Las dos columnas generan todo $\mathbb{R}^2$, así que la imagen es todo el codominio.

5. Interpretamos. La transformación es sobreyectiva, y como el determinante no es cero también es inyectiva: es un isomorfismo.

Respuesta: la imagen es todo $\mathbb{R}^2$, de dimensión $2$

2. Vemos si son independientes entre sí. Sí: eligiendo $x$, $y$ y $z$ adecuados se puede conseguir cualquier par.

3. Concluimos. La imagen es todo $\mathbb{R}^2$, de dimensión $2$.

4. Verificamos con el teorema. El núcleo tenía dimensión $1$, y $1 + 2 = 3$, que es la dimensión del dominio $\mathbb{R}^3$.

Respuesta: la imagen es todo $\mathbb{R}^2$, de dimensión $2$

2. Verificamos la suma. Si $w_1 = T(u)$ y $w_2 = T(v)$, entonces $w_1 + w_2 = T(u + v)$, que también se alcanza.

3. Verificamos el producto por escalares. $k\,w_1 = k\,T(u) = T(ku)$, que también está en la imagen.

4. Concluimos. La imagen cumple las tres condiciones, así que es un subespacio del codominio.

5. Observamos. Núcleo e imagen viven en espacios distintos: el núcleo en el dominio y la imagen en el codominio. Confundirlos es un error frecuente.

Respuesta: la imagen siempre es un subespacio del codominio

2. Sacamos factor común. $T(x; y) = (2x - y)(1; 2)$.

3. Vemos qué se puede obtener. $2x - y$ recorre todos los reales, así que se alcanzan todos los múltiplos de $(1; 2)$.

4. Concluimos. La imagen es la recta generada por $(1; 2)$, de dimensión $1$.

5. Verificamos con el teorema. El núcleo de esta transformación tiene dimensión $1$, y $1 + 1 = 2$, la dimensión del dominio.

6. Comparamos con el caso anterior. Es otra transformación, con otro núcleo, pero la misma imagen. Núcleo e imagen no se determinan mutuamente: solo están atados por la suma de sus dimensiones.

Respuesta: la imagen es la recta generada por $(1; 2)$, de dimensión $1$

2. Recordamos qué genera la imagen. La imagen está generada por las columnas de la matriz asociada.

3. Verificamos si son independientes. $\det(A) = -2 \neq 0$, así que las dos columnas son independientes.

4. Concluimos. Las dos columnas generan todo $\mathbb{R}^2$, así que la imagen es todo el codominio.

5. Verificamos con el teorema de la dimensión. Imagen de dimensión $2$ en un dominio de dimensión $2$ obliga a núcleo de dimensión $0$: la transformación es inyectiva.

Respuesta: la imagen es todo $\mathbb{R}^2$, de dimensión $2$

2. Sacamos factor común. $T(x; y; z) = (x + y + z)(1; 1)$.

3. Vemos qué se puede obtener. $x + y + z$ recorre todos los reales, así que se alcanzan todos los múltiplos de $(1; 1)$.

4. Concluimos. La imagen es la recta generada por $(1; 1)$, de dimensión $1$.

5. Calculamos el núcleo. $x + y + z = 0$ define un plano, de dimensión $2$.

6. Verificamos con el teorema. $2 + 1 = 3$, la dimensión del dominio. La transformación aplasta todo $\mathbb{R}^3$ sobre una sola recta.

Respuesta: la imagen es la recta generada por $(1; 1)$, de dimensión $1$

2. Tomamos un vector cualquiera de la imagen. Todo elemento de la imagen es $T(v)$ para algún $v$ del dominio.

3. Escribimos $v$ en la base. $v = \alpha_1 b_1 + \dots + \alpha_n b_n$.

4. Aplicamos la linealidad. $T(v) = \alpha_1 T(b_1) + \dots + \alpha_n T(b_n)$.

5. Concluimos. Todo elemento de la imagen es combinación lineal de las imágenes de la base, así que esas imágenes generan la imagen.

6. Aclaramos qué no dice. Generan, pero no necesariamente son base: pueden ser dependientes. Para conseguir una base de la imagen hay que descartar los que sobren.

Respuesta: las imágenes de una base generan la imagen, porque todo $T(v)$ se abre en combinación de ellas

2. Sacamos factor común. $T(x; y) = x(0; 1)$.

3. Vemos qué se puede obtener. $x$ recorre todos los reales, así que se alcanzan todos los múltiplos de $(0; 1)$.

4. Concluimos. La imagen es el eje $y$, de dimensión $1$.

5. Calculamos el núcleo para verificar. $T(x; y) = (0; 0)$ obliga a $x = 0$, con $y$ libre: el núcleo es el eje $y$, de dimensión $1$.

6. Verificamos con el teorema. $1 + 1 = 2$, la dimensión del dominio. Acá núcleo e imagen son el mismo subespacio, lo cual puede pasar cuando dominio y codominio son el mismo espacio.

Respuesta: la imagen es el eje $y$, generado por $(0; 1)$, de dimensión $1$

2. Recordamos qué genera la imagen. La imagen está generada por las columnas de la matriz asociada.

3. Verificamos si son independientes. $\det(A) = -1 \neq 0$, así que las dos columnas son independientes.

4. Concluimos. Las dos columnas generan todo $\mathbb{R}^2$, así que la imagen es todo el codominio.

5. Damos el criterio general. Para una transformación de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$, la imagen es todo el plano exactamente cuando el determinante de la matriz asociada no es cero.

Respuesta: la imagen es todo $\mathbb{R}^2$, de dimensión $2$

2. Vemos qué se alcanza en las otras dos. La primera es $x$ y la segunda es $y$, y las dos son libres: se consigue cualquier par.

3. Escribimos el conjunto. Las imágenes son todos los $(a; b; 0)$, o sea el plano $z = 0$.

4. Concluimos. La imagen es el plano $z = 0$ de $\mathbb{R}^3$, de dimensión $2$.

5. Calculamos el núcleo. $T(x; y) = (0; 0; 0)$ obliga a $x = 0$ e $y = 0$: el núcleo es trivial, de dimensión $0$.

6. Verificamos con el teorema. $0 + 2 = 2$, la dimensión del dominio. Es inyectiva pero no sobreyectiva: mete una copia de $\mathbb{R}^2$ adentro de $\mathbb{R}^3$ sin llenarlo.

Respuesta: la imagen es el plano $z = 0$ de $\mathbb{R}^3$, de dimensión $2$

2. Escribimos el teorema de la dimensión. $\dim(\text{dominio}) = \dim(\text{núcleo}) + \dim(\operatorname{Im})$.

3. Usamos que la dimensión del núcleo no es negativa. $\dim(\text{núcleo}) \geq 0$ siempre.

4. Acotamos. $\dim(\text{dominio}) \geq \dim(\operatorname{Im}) = \dim(\text{codominio})$.

5. Concluimos. Una transformación lineal no puede ser sobreyectiva si el dominio tiene dimensión menor que el codominio.

6. Damos el criterio simétrico. Del mismo modo, no puede ser inyectiva si el dominio tiene dimensión mayor que el codominio. Los dos criterios se leen del mismo teorema.

Respuesta: la dimensión del dominio es al menos la del codominio, porque el núcleo aporta una dimensión no negativa