Imagen

La imagen de una transformación lineal es el conjunto de todos los vectores que efectivamente se alcanzan. Es un subespacio del espacio de llegada.

Para hallarla se usa que la transformación queda determinada por la base: la imagen es el subespacio generado por las imágenes de los vectores de una base del dominio.

Esas imágenes generan, pero pueden no ser independientes. Para tener una base de la imagen hay que sacar las que sobran, y eso se hace armando una matriz y escalonando.

Cuando la imagen es todo el espacio de llegada, la transformación es sobreyectiva. Eso equivale a que la dimensión de la imagen sea igual a la del espacio de llegada.

Si la matriz asociada tiene rango menor que la cantidad de filas, la transformación no puede ser sobreyectiva. Ese chequeo de dimensiones descarta muchos casos rápido.

La dimensión de la imagen coincide con el rango de la matriz asociada, y eso conecta este tema con todo lo del volumen anterior.

\operatorname{Im}(T) =

gen{

T(b_{1}), \dots, T(b_{n})

}

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la imagen o pregunta si es sobreyectiva. Transformá los vectores de la base del dominio y escaloná: las filas no nulas dan una base de la imagen.

Ejemplo 1

Hallar la imagen de $T(x, y) = (x + y, 2x + 2y)$ .

Transformamos la base canónica. $T(1, 0) = (1, 2)$ y $T(0, 1) = (1, 2)$ .
Miramos si son independientes. Son el mismo vector, así que el rango es $1$ .
Contestamos. La imagen es $gen{(1, 2)}$ , una recta de $R^{2}$ . La transformación no es sobreyectiva.
Respuesta: $Im(T) = gen{(1, 2)}$

Ejemplo 2

Hallar la imagen de $T(x, y, z) = (x + z, y)$ .

Transformamos la base canónica de $R^{3}$ . $T(1, 0, 0) = (1, 0)$ , $T(0, 1, 0) = (0, 1)$ y $T(0, 0, 1) = (1, 0)$ .
Calculamos el rango. El tercero repite al primero, así que quedan dos independientes: $(1, 0)$ y $(0, 1)$ .
Contestamos. La imagen es todo $R^{2}$ , de dimensión $2$ : la transformación es sobreyectiva.
Respuesta: $Im(T) = R^{2}$

Error típico

Contestar que la imagen tiene la dimensión de la cantidad de vectores transformados. Si las imágenes de la base son dependientes, la dimensión es menor: hay que calcular el rango.

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

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