Composición

Componer dos transformaciones lineales es aplicar una y después la otra. El resultado también es una transformación lineal.

En términos de matrices, la composición corresponde al producto: la matriz de la composición es el producto de las matrices, en el orden en que se aplican.

Ese orden es al revés de como se leen los símbolos. En la composición escrita, la que actúa primero es la de la derecha, y en el producto de matrices también va a la derecha.

Esa correspondencia es la razón profunda por la que el producto de matrices se define de esa forma tan particular. No es arbitrario: está armado para que composición y producto coincidan.

También explica por qué el producto no es conmutativo: componer en un orden o en el otro da transformaciones distintas.

Para que la composición tenga sentido, el codominio de la primera tiene que ser el dominio de la segunda. Eso se traduce en la condición de dimensiones del producto de matrices.

matriz de

S\circ T =

matriz de

S \cdot

matriz de T

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide componer dos transformaciones. Multiplicá las matrices en el orden correcto: la que actúa primero va a la derecha.

Ejemplo 1

Con $T(x, y) = (2x, x + 3y)$ y $S(x, y) = (y, x)$ , hallar la matriz de $S\circ T$ .

Escribimos las dos matrices. $T$ tiene $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$
y $S$ tiene $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ .
Multiplicamos con S a la izquierda. Porque $S$ actúa segundo: $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
por $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ .
Resolvemos y verificamos. Da $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ , que corresponde a $(x + 3y, 2x)$ , justo lo que sale componiendo las fórmulas.
Respuesta: $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Con las mismas, hallar $T\circ S$ y comparar.

Invertimos el orden del producto. Ahora $T$ actúa segundo, así que va a la izquierda.
Multiplicamos. $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$
por $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
da $\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ .
Comparamos. Es distinta de la anterior. Componer en otro orden da otra transformación, y por eso el producto de matrices no es conmutativo.
Respuesta: $\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

Error típico

Multiplicar en el orden en que se leen las transformaciones. Si primero actúa T y después S, la matriz es la de S por la de T. Invertir el orden da otra transformación.

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

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