Método

Ejercicios: Composición

matriz de S∘T=S\circ T = matriz de S⋅S \cdot matriz de T

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Las matrices de SS y TT en la canónica son A=[−143−5]A = \begin{bmatrix}-1 & 4 \\ 3 & -5\end{bmatrix} y B=[3−543]B = \begin{bmatrix}3 & -5 \\ 4 & 3\end{bmatrix}. Hallá la matriz de S∘TS \circ T.

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1. Entendemos la composición. S∘TS \circ T significa aplicar primero TT y después SS.

2. Traducimos a matrices. Aplicar TT es multiplicar por BB, y después aplicar SS es multiplicar por AA. La matriz resultante es el producto ABAB.

3. Calculamos. AB=[1317−11−30]AB = \begin{bmatrix}13 & 17 \\ -11 & -30\end{bmatrix}

4. Controlamos el orden. La matriz de la composición es ABAB, no BABA. El orden importa porque el producto de matrices no es conmutativo, igual que la composición de funciones.

Respuesta: la matriz de S∘TS \circ T es [1317−11−30]\begin{bmatrix}13 & 17 \\ -11 & -30\end{bmatrix}

2. Con A=[−3253]A = \begin{bmatrix}-3 & 2 \\ 5 & 3\end{bmatrix} y B=[−3−445]B = \begin{bmatrix}-3 & -4 \\ 4 & 5\end{bmatrix} las matrices de SS y TT, decidí si S∘T=T∘SS \circ T = T \circ S.

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1. Calculamos la primera composición. AB=[1722−3−5]AB = \begin{bmatrix}17 & 22 \\ -3 & -5\end{bmatrix}

2. Calculamos la segunda. BA=[−11−181323]BA = \begin{bmatrix}-11 & -18 \\ 13 & 23\end{bmatrix}

3. Comparamos. Los dos resultados son distintos.

4. Concluimos. La composición de transformaciones lineales no es conmutativa en general.

5. Damos una intuición. Es lo mismo que pasa con funciones: rotar y después reflejar no da lo mismo que reflejar y después rotar.

Respuesta: no son iguales: la composición no es conmutativa

3. Demostrá que la composición de dos transformaciones lineales es lineal.

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1. Escribimos qué hay que probar. Hay que ver que S∘TS \circ T respeta la suma y el producto por escalares.

2. Verificamos la suma. (S∘T)(u+v)=S(T(u+v))=S(T(u)+T(v))(S \circ T)(u + v) = S(T(u + v)) = S(T(u) + T(v)), usando que TT es lineal.

3. Seguimos usando la linealidad de SS. =S(T(u))+S(T(v))=(S∘T)(u)+(S∘T)(v) = S(T(u)) + S(T(v)) = (S \circ T)(u) + (S \circ T)(v)

4. Verificamos el producto por escalares. (S∘T)(kv)=S(T(kv))=S(k T(v))=k S(T(v))(S \circ T)(kv) = S(T(kv)) = S(k\,T(v)) = k\,S(T(v))

5. Concluimos. Se cumplen las dos condiciones, así que la composición es lineal. Esto justifica que tenga matriz asociada.

Respuesta: la composición de dos transformaciones lineales siempre es lineal

4. TT tiene matriz A=[252−1]A = \begin{bmatrix}2 & 5 \\ 2 & -1\end{bmatrix}. Hallá la matriz de T−1T^{-1} y verificá componiendo.

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1. Verificamos que la inversa exista. det⁡(A)=−12≠0\det(A) = -12 \neq 0, así que TT es un isomorfismo y tiene inversa.

2. Usamos la relación. La matriz de la transformación inversa es la inversa de la matriz.

3. Calculamos. A−1=[11251216−16]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{1}{12} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{6}\end{bmatrix}

4. Verificamos componiendo. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, que es la matriz de la identidad.

5. Interpretamos. Componer una transformación con su inversa devuelve todo a su lugar, que es exactamente lo que hace la identidad.

Respuesta: la matriz de T−1T^{-1} es [11251216−16]\begin{bmatrix}\frac{1}{12} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{6} & - \frac{1}{6}\end{bmatrix}

5. Las matrices de SS y TT en la canónica son A=[3−2−35]A = \begin{bmatrix}3 & -2 \\ -3 & 5\end{bmatrix} y B=[−1−541]B = \begin{bmatrix}-1 & -5 \\ 4 & 1\end{bmatrix}. Hallá la matriz de S∘TS \circ T.

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1. Entendemos la composición. S∘TS \circ T significa aplicar primero TT y después SS.

2. Traducimos a matrices. Aplicar TT es multiplicar por BB, y después aplicar SS es multiplicar por AA. La matriz resultante es el producto ABAB.

3. Calculamos. AB=[−11−172320]AB = \begin{bmatrix}-11 & -17 \\ 23 & 20\end{bmatrix}

4. Controlamos el orden. La matriz de la composición es ABAB, no BABA. El orden importa porque el producto de matrices no es conmutativo, igual que la composición de funciones.

Respuesta: la matriz de S∘TS \circ T es [−11−172320]\begin{bmatrix}-11 & -17 \\ 23 & 20\end{bmatrix}

6. Con A=[−3353]A = \begin{bmatrix}-3 & 3 \\ 5 & 3\end{bmatrix} y B=[−2−4−35]B = \begin{bmatrix}-2 & -4 \\ -3 & 5\end{bmatrix} las matrices de SS y TT, decidí si S∘T=T∘SS \circ T = T \circ S.

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1. Calculamos la primera composición. AB=[−327−19−5]AB = \begin{bmatrix}-3 & 27 \\ -19 & -5\end{bmatrix}

2. Calculamos la segunda. BA=[−14−18346]BA = \begin{bmatrix}-14 & -18 \\ 34 & 6\end{bmatrix}

3. Comparamos. Los dos resultados son distintos.

4. Concluimos. La composición de transformaciones lineales no es conmutativa en general.

5. Damos una intuición. Es lo mismo que pasa con funciones: rotar y después reflejar no da lo mismo que reflejar y después rotar.

Respuesta: no son iguales: la composición no es conmutativa

7. Demostrá que la matriz de la composición es el producto de las matrices, en ese orden.

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1. Nombramos las matrices. Sea AA la matriz de SS y BB la de TT, en las bases correspondientes.

2. Escribimos qué hace cada una. Aplicar TT a un vector de coordenadas XX da BXBX, y aplicar SS a un vector de coordenadas YY da AYAY.

3. Componemos. (S∘T)(X)(S \circ T)(X) significa aplicar primero TT y después SS: queda A(BX)A(BX).

4. Usamos la asociatividad del producto. A(BX)=(AB)XA(BX) = (AB)X.

5. Concluimos. La matriz de S∘TS \circ T es ABAB: primero la de la que se aplica después.

6. Señalamos el error típico. El orden se escribe al revés de como se aplica. Además el producto de matrices no es conmutativo, así que ABAB y BABA suelen representar composiciones distintas.

Respuesta: la matriz de S∘TS \circ T es ABAB, con la matriz de SS a la izquierda

8. TT tiene matriz A=[3−51−2]A = \begin{bmatrix}3 & -5 \\ 1 & -2\end{bmatrix}. Hallá la matriz de T−1T^{-1} y verificá componiendo.

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1. Verificamos que la inversa exista. det⁡(A)=−1≠0\det(A) = -1 \neq 0, así que TT es un isomorfismo y tiene inversa.

2. Usamos la relación. La matriz de la transformación inversa es la inversa de la matriz.

3. Calculamos. A−1=[2−51−3]A^{-1} = \begin{bmatrix}2 & -5 \\ 1 & -3\end{bmatrix}

4. Verificamos componiendo. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, que es la matriz de la identidad.

5. Interpretamos. Componer una transformación con su inversa devuelve todo a su lugar, que es exactamente lo que hace la identidad.

Respuesta: la matriz de T−1T^{-1} es [2−51−3]\begin{bmatrix}2 & -5 \\ 1 & -3\end{bmatrix}

9. Las matrices de SS y TT en la canónica son A=[−5−423]A = \begin{bmatrix}-5 & -4 \\ 2 & 3\end{bmatrix} y B=[314−4]B = \begin{bmatrix}3 & 1 \\ 4 & -4\end{bmatrix}. Hallá la matriz de S∘TS \circ T.

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1. Entendemos la composición. S∘TS \circ T significa aplicar primero TT y después SS.

2. Traducimos a matrices. Aplicar TT es multiplicar por BB, y después aplicar SS es multiplicar por AA. La matriz resultante es el producto ABAB.

3. Calculamos. AB=[−311118−10]AB = \begin{bmatrix}-31 & 11 \\ 18 & -10\end{bmatrix}

4. Controlamos el orden. La matriz de la composición es ABAB, no BABA. El orden importa porque el producto de matrices no es conmutativo, igual que la composición de funciones.

Respuesta: la matriz de S∘TS \circ T es [−311118−10]\begin{bmatrix}-31 & 11 \\ 18 & -10\end{bmatrix}

10. Con A=[−41−3−3]A = \begin{bmatrix}-4 & 1 \\ -3 & -3\end{bmatrix} y B=[2−3−1−4]B = \begin{bmatrix}2 & -3 \\ -1 & -4\end{bmatrix} las matrices de SS y TT, decidí si S∘T=T∘SS \circ T = T \circ S.

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1. Calculamos la primera composición. AB=[−98−321]AB = \begin{bmatrix}-9 & 8 \\ -3 & 21\end{bmatrix}

2. Calculamos la segunda. BA=[1111611]BA = \begin{bmatrix}1 & 11 \\ 16 & 11\end{bmatrix}

3. Comparamos. Los dos resultados son distintos.

4. Concluimos. La composición de transformaciones lineales no es conmutativa en general.

5. Damos una intuición. Es lo mismo que pasa con funciones: rotar y después reflejar no da lo mismo que reflejar y después rotar.

Respuesta: no son iguales: la composición no es conmutativa

11. Decidí si componer dos transformaciones lineales puede agrandar la imagen respecto de la de la segunda que se aplica.

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1. Fijamos la notación. En S∘TS \circ T se aplica primero TT y después SS.

2. Miramos por dónde pasa cada vector. Todo vector entra por TT, así que lo que SS recibe está siempre dentro de la imagen de TT.

3. Comparamos las imágenes. La imagen de S∘TS \circ T es SS aplicada a la imagen de TT, que es un subespacio del dominio de SS.

4. Acotamos la dimensión. Una transformación lineal nunca aumenta la dimensión de un subespacio, así que dim⁡(Im⁡(S∘T))≤dim⁡(Im⁡(T))\dim(\operatorname{Im}(S \circ T)) \leq \dim(\operatorname{Im}(T)).

5. Concluimos. No puede agrandarla: componer solo puede mantener o achicar la imagen.

6. Damos un caso de cada uno. Si SS es la identidad, la imagen se mantiene. Si SS es la transformación nula, la imagen se reduce al vector nulo.

Respuesta: no puede: la imagen de la composición está contenida en la de TT transformada por SS, así que nunca crece

12. TT tiene matriz A=[5−4−35]A = \begin{bmatrix}5 & -4 \\ -3 & 5\end{bmatrix}. Hallá la matriz de T−1T^{-1} y verificá componiendo.

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1. Verificamos que la inversa exista. det⁡(A)=13≠0\det(A) = 13 \neq 0, así que TT es un isomorfismo y tiene inversa.

2. Usamos la relación. La matriz de la transformación inversa es la inversa de la matriz.

3. Calculamos. A−1=[513413313513]A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{5}{13} & \frac{4}{13} \\ \frac{3}{13} & \frac{5}{13}\end{bmatrix}

4. Verificamos componiendo. A⋅A−1=[1001]A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, que es la matriz de la identidad.

5. Interpretamos. Componer una transformación con su inversa devuelve todo a su lugar, que es exactamente lo que hace la identidad.

Respuesta: la matriz de T−1T^{-1} es [513413313513]\begin{bmatrix}\frac{5}{13} & \frac{4}{13} \\ \frac{3}{13} & \frac{5}{13}\end{bmatrix}

Integradores de Transformaciones lineales y diagonalización: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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