Ejercicios: Isomorfismos e inversa

2. Usamos el criterio del determinante. Para una transformación de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^n$, es isomorfismo exactamente cuando el determinante no es cero. Acá $\det(A) = 3$.

3. Concluimos. Es un isomorfismo.

4. Vemos qué implica. El núcleo es trivial, la imagen es todo el codominio, y existe la transformación inversa.

5. Observamos. Cuando dominio y codominio tienen la misma dimensión, alcanza con verificar una de las dos condiciones.

Respuesta: sí es un isomorfismo

2. Concluimos. No es un isomorfismo.

3. Vemos qué falla. El núcleo no es trivial, así que la transformación no es inyectiva: hay vectores distintos que van a parar al mismo lugar.

4. Miramos la imagen. Por el teorema de la dimensión, la imagen tiene dimensión $1$: es una recta, no todo el plano.

5. Interpretamos. La transformación aplasta el plano sobre una recta, y esa información no se puede recuperar.

Respuesta: no es un isomorfismo: el determinante vale $0$

2. Aplicamos el criterio. Dos espacios de dimensión finita son isomorfos exactamente cuando tienen la misma dimensión.

3. Concluimos. Sí existe un isomorfismo entre los dos.

4. Damos uno explícito. $T(a; b; c) = a + bx + cx^2$ manda base en base, así que es un isomorfismo.

5. Interpretamos. Los dos espacios son estructuralmente el mismo: cambia cómo se escriben los elementos, no cómo se comportan.

Respuesta: sí existe: los dos espacios tienen dimensión $3$

2. Aplicamos el teorema de la dimensión. Si hubiera un isomorfismo, sería inyectivo, así que el núcleo tendría dimensión $0$ y la imagen dimensión $2$.

3. Vemos el problema. La imagen tendría dimensión $2$, pero para ser sobreyectiva debería tener dimensión $3$.

4. Concluimos. No puede existir un isomorfismo entre espacios de dimensiones distintas.

5. Generalizamos. Dos espacios de dimensión finita son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión.

Respuesta: no puede existir: tienen dimensiones distintas

2. Usamos el criterio del determinante. Para una transformación de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^n$, es isomorfismo exactamente cuando el determinante no es cero. Acá $\det(A) = 13$.

3. Concluimos. Es un isomorfismo.

4. Vemos qué implica. El núcleo es trivial, la imagen es todo el codominio, y existe la transformación inversa.

5. Observamos. Cuando dominio y codominio tienen la misma dimensión, alcanza con verificar una de las dos condiciones.

Respuesta: sí es un isomorfismo

2. Concluimos. No es un isomorfismo.

3. Vemos qué falla. El núcleo no es trivial, así que la transformación no es inyectiva: hay vectores distintos que van a parar al mismo lugar.

4. Miramos la imagen. Por el teorema de la dimensión, la imagen tiene dimensión $1$: es una recta, no todo el plano.

5. Interpretamos. La transformación aplasta el plano sobre una recta, y esa información no se puede recuperar.

Respuesta: no es un isomorfismo: el determinante vale $0$

2. Calculamos la dimensión del segundo. Una matriz de $2 \times 2$ tiene cuatro entradas libres, así que su espacio tiene dimensión $4$, con base las cuatro matrices que tienen un $1$ en un lugar y ceros en el resto.

3. Aplicamos el criterio. Las dimensiones coinciden, así que los espacios son isomorfos.

4. Damos uno explícito. $T(a; b; c; d) = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$: simplemente reacomoda los cuatro números.

5. Verificamos que sea isomorfismo. Es lineal, y manda la base canónica de $\mathbb{R}^4$ en la base canónica de las matrices, así que es biyectiva.

6. Observamos. Todo espacio vectorial real de dimensión $n$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$. Por eso alcanza con estudiar $\mathbb{R}^n$ para entenderlos a todos.

Respuesta: sí existe: los dos espacios tienen dimensión $4$

2. Comparamos. $4 \neq 3$.

3. Aplicamos el teorema de la dimensión. Un isomorfismo sería inyectivo, con núcleo de dimensión $0$, así que la imagen tendría dimensión $4$.

4. Vemos la contradicción. La imagen vive en un espacio de dimensión $3$, y no puede tener dimensión $4$.

5. Concluimos. No puede existir.

6. Aclaramos qué sí se puede. Sí existe una transformación lineal sobreyectiva de $\mathbb{R}^4$ en ese espacio, con núcleo de dimensión $1$. Lo que no existe es una biyectiva.

Respuesta: no puede existir: las dimensiones son $4$ y $3$

2. Usamos el criterio del determinante. Para una transformación de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^n$, es isomorfismo exactamente cuando el determinante no es cero. Acá $\det(A) = 8$.

3. Concluimos. Es un isomorfismo.

4. Vemos qué implica. El núcleo es trivial, la imagen es todo el codominio, y existe la transformación inversa.

5. Observamos. Cuando dominio y codominio tienen la misma dimensión, alcanza con verificar una de las dos condiciones.

Respuesta: sí es un isomorfismo

2. Concluimos. No es un isomorfismo.

3. Vemos qué falla. El núcleo no es trivial, así que la transformación no es inyectiva: hay vectores distintos que van a parar al mismo lugar.

4. Miramos la imagen. Por el teorema de la dimensión, la imagen tiene dimensión $1$: es una recta, no todo el plano.

5. Interpretamos. La transformación aplasta el plano sobre una recta, y esa información no se puede recuperar.

Respuesta: no es un isomorfismo: el determinante vale $0$

2. Escribimos una base. Las tres matrices que se obtienen poniendo $a = 1$, $b = 1$ y $c = 1$ por separado, con los demás en cero.

3. Comparamos con $\mathbb{R}^3$. Los dos espacios tienen dimensión $3$.

4. Aplicamos el criterio. Misma dimensión finita implica isomorfos.

5. Damos uno explícito. $T(a; b; c) = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$, que manda base en base.

6. Señalamos el punto fino. Lo que hay que contar son los grados de libertad, no las entradas de la matriz. Contar cuatro entradas daría dimensión $4$ y la respuesta sería equivocada.

Respuesta: sí existe: las simétricas de $2 \times 2$ tienen dimensión $3$, igual que $\mathbb{R}^3$

2. Tomamos dos vectores del codominio. Sean $w_1$ y $w_2$. Como $T$ es biyectiva, existen $u$ y $v$ únicos con $T(u) = w_1$ y $T(v) = w_2$.

3. Usamos la linealidad de $T$. $T(u + v) = w_1 + w_2$, y aplicando $T^{-1}$ queda $T^{-1}(w_1 + w_2) = u + v$.

4. Reescribimos el resultado. $u = T^{-1}(w_1)$ y $v = T^{-1}(w_2)$, así que $T^{-1}(w_1 + w_2) = T^{-1}(w_1) + T^{-1}(w_2)$.

5. Repetimos con escalares. $T(ku) = k w_1$, y aplicando $T^{-1}$ queda $T^{-1}(k w_1) = ku = k\,T^{-1}(w_1)$.

6. Concluimos. $T^{-1}$ es lineal, y también biyectiva, así que es un isomorfismo. En matrices esto se corresponde con que la inversa de la matriz asociada representa a la transformación inversa.

Respuesta: $T^{-1}$ es lineal: la biyectividad permite trasladar cada propiedad de $T$ a su inversa