Método

Ejercicios: Matrices semejantes

A' =P−1AP= P^{-1} A P

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Decidí si A=[7−48−5]A = \begin{bmatrix}7 & -4 \\ 8 & -5\end{bmatrix} y D=[300−1]D = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} pueden ser semejantes, comparando traza y determinante.

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1. Recordamos qué comparten las semejantes. Dos matrices semejantes tienen la misma traza, el mismo determinante y los mismos autovalores.

2. Comparamos las trazas. tr⁡(A)=2\operatorname{tr}(A) = 2 y tr⁡(D)=2\operatorname{tr}(D) = 2. Coinciden.

3. Comparamos los determinantes. det⁡(A)=−3\det(A) = -3 y det⁡(D)=−3\det(D) = -3. También coinciden.

4. Concluimos. Las dos condiciones necesarias se cumplen, y de hecho DD es la forma diagonal de AA: son semejantes.

5. Advertimos. Que coincidan traza y determinante no alcanza como prueba en general. Es condición necesaria, no suficiente.

Respuesta: sí son semejantes: DD es la forma diagonal de AA

2. Decidí si A=[1002]A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix} y B=[1003]B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix} pueden ser semejantes.

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1. Comparamos los determinantes. det⁡(A)=2\det(A) = 2 y det⁡(B)=3\det(B) = 3.

2. Aplicamos la propiedad. Dos matrices semejantes tienen que tener el mismo determinante.

3. Concluimos. Los determinantes son distintos, así que no pueden ser semejantes.

4. Verificamos con otra propiedad. Las trazas son 33 y 44, también distintas, lo que confirma el resultado.

5. Observamos. Comparar traza y determinante es la forma más rápida de descartar semejanza.

Respuesta: no son semejantes: tienen distinto determinante

3. Demostrá que dos matrices semejantes tienen el mismo determinante.

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1. Escribimos la relación. Si son semejantes, B=P−1APB = P^{-1}AP con PP inversible.

2. Aplicamos determinante a los dos lados. det⁡(B)=det⁡(P−1AP)\det(B) = \det(P^{-1}AP)

3. Usamos la propiedad del producto. det⁡(B)=det⁡(P−1)⋅det⁡(A)⋅det⁡(P)\det(B) = \det(P^{-1}) \cdot \det(A) \cdot \det(P)

4. Usamos que los escalares conmutan. det⁡(P−1)⋅det⁡(P)=1\det(P^{-1}) \cdot \det(P) = 1, así que queda det⁡(B)=det⁡(A)\det(B) = \det(A).

5. Concluimos. Los determinantes coinciden. Tiene sentido: representan la misma transformación, y el determinante mide cómo cambia el volumen, algo que no depende de la base.

Respuesta: tienen el mismo determinante, porque det⁡(P−1)det⁡(P)=1\det(P^{-1})\det(P) = 1

4. Sabiendo que A=[12−47]A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ -4 & 7\end{bmatrix} es semejante a una matriz diagonal, hallá esa matriz usando traza y determinante.

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1. Planteamos qué buscamos. La matriz diagonal tiene los autovalores en la diagonal, así que hay que hallarlos.

2. Usamos la traza. La suma de los autovalores es la traza: λ1+λ2=8\lambda_1 + \lambda_2 = 8.

3. Usamos el determinante. El producto de los autovalores es el determinante: λ1λ2=15\lambda_1 \lambda_2 = 15.

4. Resolvemos el sistema. Los dos números que suman 88 y multiplican 1515 son 33 y 55.

5. Escribimos la diagonal. D=[3005]D = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix}

Respuesta: D=[3005]D = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix}

5. Decidí si A=[2−1−30]A = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ -3 & 0\end{bmatrix} y D=[400−1]D = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} pueden ser semejantes, comparando traza y determinante.

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1. Recordamos qué comparten las semejantes. Dos matrices semejantes tienen la misma traza, el mismo determinante y los mismos autovalores.

2. Comparamos las trazas. tr⁡(A)=2\operatorname{tr}(A) = 2 y tr⁡(D)=3\operatorname{tr}(D) = 3. Coinciden.

3. Comparamos los determinantes. det⁡(A)=−3\det(A) = -3 y det⁡(D)=−4\det(D) = -4. También coinciden.

4. Concluimos. Las dos condiciones necesarias se cumplen, y de hecho DD es la forma diagonal de AA: son semejantes.

5. Advertimos. Que coincidan traza y determinante no alcanza como prueba en general. Es condición necesaria, no suficiente.

Respuesta: sí son semejantes: DD es la forma diagonal de AA

6. Decidí si A=[2003]A = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix} y B=[1006]B = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 6\end{bmatrix} pueden ser semejantes.

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1. Comparamos los determinantes. det⁡(A)=6\det(A) = 6 y det⁡(B)=6\det(B) = 6: coinciden. Este criterio no descarta nada.

2. Comparamos las trazas. tr⁡(A)=2+3=5\operatorname{tr}(A) = 2 + 3 = 5 y tr⁡(B)=1+6=7\operatorname{tr}(B) = 1 + 6 = 7.

3. Aplicamos la propiedad. Dos matrices semejantes tienen la misma traza, porque comparten los autovalores.

4. Concluimos. Las trazas son distintas, así que no son semejantes.

5. Miramos los autovalores. Las dos son diagonales, así que sus autovalores son {2,3}\{2, 3\} y {1,6}\{1, 6\}: conjuntos distintos, lo que confirma el resultado.

6. Sacamos la lección. El determinante igual no alcanza. Conviene chequear traza y determinante juntos, y si los dos coinciden, mirar los autovalores.

Respuesta: no son semejantes: tienen la misma determinante pero distinta traza

7. Demostrá que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico, y por lo tanto los mismos autovalores.

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1. Escribimos la relación. B=P−1APB = P^{-1}AP con PP inversible.

2. Planteamos el polinomio de BB. det⁡(B−λI)=det⁡(P−1AP−λI)\det(B - \lambda I) = \det(P^{-1}AP - \lambda I).

3. Reescribimos la identidad. λI=P−1(λI)P\lambda I = P^{-1}(\lambda I)P, porque la identidad conmuta con todo.

4. Sacamos factor común. P−1AP−P−1(λI)P=P−1(A−λI)PP^{-1}AP - P^{-1}(\lambda I)P = P^{-1}(A - \lambda I)P.

5. Tomamos determinante. det⁡(P−1)det⁡(A−λI)det⁡(P)=det⁡(A−λI)\det(P^{-1})\det(A - \lambda I)\det(P) = \det(A - \lambda I), porque los determinantes de PP y su inversa se cancelan.

6. Concluimos. Los polinomios característicos son idénticos, así que las raíces también: los autovalores no dependen de la base.

Respuesta: tienen el mismo polinomio característico, porque P−1(A−λI)PP^{-1}(A - \lambda I)P tiene el mismo determinante que A−λIA - \lambda I

8. Sabiendo que A=[10−714−11]A = \begin{bmatrix}10 & -7 \\ 14 & -11\end{bmatrix} es semejante a una matriz diagonal, hallá esa matriz usando traza y determinante.

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1. Planteamos qué buscamos. La matriz diagonal tiene los autovalores en la diagonal, así que hay que hallarlos.

2. Usamos la traza. La suma de los autovalores es la traza: λ1+λ2=−1\lambda_1 + \lambda_2 = -1.

3. Usamos el determinante. El producto de los autovalores es el determinante: λ1λ2=−12\lambda_1 \lambda_2 = -12.

4. Resolvemos el sistema. Los dos números que suman −1-1 y multiplican −12-12 son 33 y −4-4.

5. Escribimos la diagonal. D=[300−4]D = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & -4\end{bmatrix}

Respuesta: D=[300−4]D = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & -4\end{bmatrix}

9. Decidí si A=[31−26]A = \begin{bmatrix}3 & 1 \\ -2 & 6\end{bmatrix} y D=[4005]D = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix} pueden ser semejantes, comparando traza y determinante.

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1. Recordamos qué comparten las semejantes. Dos matrices semejantes tienen la misma traza, el mismo determinante y los mismos autovalores.

2. Comparamos las trazas. tr⁡(A)=9\operatorname{tr}(A) = 9 y tr⁡(D)=9\operatorname{tr}(D) = 9. Coinciden.

3. Comparamos los determinantes. det⁡(A)=20\det(A) = 20 y det⁡(D)=20\det(D) = 20. También coinciden.

4. Concluimos. Las dos condiciones necesarias se cumplen, y de hecho DD es la forma diagonal de AA: son semejantes.

5. Advertimos. Que coincidan traza y determinante no alcanza como prueba en general. Es condición necesaria, no suficiente.

Respuesta: sí son semejantes: DD es la forma diagonal de AA

10. Decidí si A=[1001]A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, la identidad, puede ser semejante a alguna matriz distinta de ella misma.

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1. Escribimos la relación de semejanza. BB es semejante a AA si B=P−1APB = P^{-1}AP para alguna PP inversible.

2. Reemplazamos AA por la identidad. B=P−1IPB = P^{-1}IP.

3. Simplificamos. La identidad no cambia nada al multiplicar, así que P−1IP=P−1P=IP^{-1}IP = P^{-1}P = I.

4. Concluimos. Sea cual sea PP, el resultado siempre es la identidad: B=IB = I.

5. Damos la respuesta. La identidad solo es semejante a sí misma.

6. Generalizamos. Lo mismo vale para cualquier múltiplo de la identidad, como 3I3I. Son las únicas matrices cuya representación no depende de la base elegida.

Respuesta: no puede: la identidad solo es semejante a sí misma, porque P−1IP=IP^{-1}IP = I para toda PP

11. Demostrá que dos matrices semejantes tienen el mismo rango.

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1. Escribimos la relación. B=P−1APB = P^{-1}AP con PP inversible.

2. Recordamos qué es el rango. Es la dimensión de la imagen de la transformación asociada, o equivalentemente la cantidad de columnas independientes.

3. Usamos el efecto de multiplicar por una inversible. Multiplicar por una matriz inversible es un isomorfismo, y un isomorfismo no cambia la dimensión de ningún subespacio.

4. Lo aplicamos a los dos lados. Pasar de AA a APAP no cambia el rango, y pasar de APAP a P−1APP^{-1}AP tampoco.

5. Concluimos. AA y BB tienen el mismo rango.

6. Sacamos la consecuencia. Por el teorema de la dimensión, también coinciden las dimensiones de sus núcleos. Todo lo que describe a la transformación se conserva; lo único que cambia son las coordenadas con que se la escribe.

Respuesta: tienen el mismo rango, porque multiplicar por matrices inversibles no cambia la dimensión de la imagen

12. Sabiendo que A=[16−636−14]A = \begin{bmatrix}16 & -6 \\ 36 & -14\end{bmatrix} es semejante a una matriz diagonal, hallá esa matriz usando traza y determinante.

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1. Planteamos qué buscamos. La matriz diagonal tiene los autovalores en la diagonal, así que hay que hallarlos.

2. Usamos la traza. La suma de los autovalores es la traza: λ1+λ2=2\lambda_1 + \lambda_2 = 2.

3. Usamos el determinante. El producto de los autovalores es el determinante: λ1λ2=−8\lambda_1 \lambda_2 = -8.

4. Resolvemos el sistema. Los dos números que suman 22 y multiplican −8-8 son 44 y −2-2.

5. Escribimos la diagonal. D=[400−2]D = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & -2\end{bmatrix}

Respuesta: D=[400−2]D = \begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & -2\end{bmatrix}

Integradores de Transformaciones lineales y diagonalización: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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