Matrices semejantes

Dos matrices son semejantes cuando representan a la misma transformación lineal en bases distintas. Formalmente, una se obtiene de la otra multiplicando por una matriz inversible y su inversa.

La semejanza es una relación de equivalencia: toda matriz es semejante a sí misma, la relación es simétrica, y es transitiva.

Como representan lo mismo, las matrices semejantes comparten todas las propiedades que no dependen de la base. Tienen el mismo determinante, el mismo rango, la misma traza, el mismo polinomio característico y los mismos autovalores.

Esas coincidencias sirven para descartar: si dos matrices tienen determinantes distintos, no pueden ser semejantes, y no hace falta buscar la matriz de cambio.

Lo que no comparten son los autovectores, porque están expresados en bases distintas.

Toda la idea de diagonalizar es encontrar, dentro de la familia de matrices semejantes a una dada, la más simple posible. Y la más simple es la diagonal.

= P^{-1} A P

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta si dos matrices son semejantes. Compará determinante, traza y autovalores: si alguno difiere, no lo son. Que coincidan no alcanza para asegurarlo.

Ejemplo 1

Con $A =\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ y la base $B = {(1, 1), (1, -1)}$ , hallar $A'$ .

Armamos P con la base como columnas. $P =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ , con determinante $-2$ .
Multiplicamos A por P. Da $\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}$ .
Multiplicamos por $P^{-1} a$ la izquierda. Con $P^{-1} = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

queda $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ , la misma matriz que dio el subtema $7$ .
Respuesta: $A' =\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Verificar que las dos matrices tienen el mismo determinante y la misma traza.

Calculamos con la original. Determinante $2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$ y traza $2 + 3 = 5$ .
Calculamos con la nueva. Determinante $3 \cdot 2 - 0 \cdot (-1) = 6$ y traza $3 + 2 = 5$ .
Concluimos. Coinciden. Son propiedades de la transformación y no de la base, así que sirven para controlar el resultado.
Respuesta: det $6$ y traza $5$ en las dos

Error típico

Escribir $P A P^{-1}$ en lugar de $P^{-1} A P$ . Las dos expresiones son matrices semejantes a A, pero corresponden a cambios de base en direcciones opuestas y no dan lo mismo.

Practicar

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Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

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