Cuándo se puede diagonalizar

Una matriz es diagonalizable cuando existe una base formada íntegramente por autovectores. En esa base la transformación se ve como un simple estiramiento en cada dirección.

La condición equivalente y más práctica es que para cada autovalor la multiplicidad geométrica coincida con la algebraica.

Hay un caso que se resuelve de inmediato: si todos los autovalores son distintos entre sí, la matriz es diagonalizable seguro. Sus autovectores son independientes automáticamente y forman base.

Cuando hay autovalores repetidos hay que trabajar. Para cada uno se calcula la dimensión del autoespacio y se compara con su multiplicidad.

Si alguna geométrica queda por debajo, no hay suficientes autovectores independientes para armar una base y la matriz no diagonaliza.

Hay un caso especial que vale la pena recordar: toda matriz simétrica con entradas reales es diagonalizable, y además con una base ortogonal. Eso lo garantiza el teorema espectral.

diagonalizable

\iff n

autovectores independientes

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pregunta si una matriz diagonaliza. Si los autovalores son todos distintos, sí. Si hay repetidos, calculá la dimensión de cada autoespacio. Si la matriz es simétrica, diagonaliza seguro.

Ejemplo 1

Decidir si $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ es diagonalizable.

Calculamos los autovalores. El polinomio es $\lambda ^{2} - 4\lambda + 3$ , con raíces $1$ y $3$ .
Aplicamos el atajo. Son dos autovalores distintos en una matriz de $2 \times 2$ .
Concluimos. Es diagonalizable, y no hizo falta calcular los autoespacios: cada autovalor simple aporta exactamente una dirección.
Respuesta: sí, es diagonalizable

Ejemplo 2

Decidir si $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ es diagonalizable.

Calculamos los autovalores. Es triangular, así que $\lambda = 2$ con multiplicidad $2$ . El atajo no sirve.
Calculamos el autoespacio. $A - 2I$ es $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$
y el sistema pide $y = 0$ : el autoespacio tiene dimensión $1$ .
Comparamos. La geométrica es $1$ y la algebraica $2$ . No hay dos autovectores independientes: no es diagonalizable.
Respuesta: no lo es

Error típico

Concluir que una matriz no es diagonalizable porque tiene un autovalor repetido. El repetido obliga a calcular, no condena: si su autoespacio tiene la dimensión de su multiplicidad, la matriz sí es diagonalizable.

Practicar

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