Matriz asociada

Toda transformación lineal entre espacios de dimensión finita se puede representar con una matriz. Aplicar la transformación se convierte en multiplicar por esa matriz.

Para armarla se transforma cada vector de la base del dominio, se escriben las coordenadas de cada imagen en la base del codominio, y esas coordenadas se ponen como columnas.

Que van como columnas y no como filas es el detalle que más se equivoca, y da una matriz transpuesta que no funciona.

El tamaño de la matriz queda determinado: tantas filas como la dimensión del codominio y tantas columnas como la del dominio.

La matriz depende de las bases elegidas. La misma transformación tiene matrices distintas según en qué bases se la escriba, y por eso siempre hay que aclarar cuáles se están usando.

Con la matriz a mano, todo se calcula con las herramientas del volumen anterior: el núcleo es su espacio nulo y la imagen su espacio columna.

columna

i = T(b_{i})

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide la matriz asociada, o cuando conviene pasar a matrices para calcular núcleo e imagen. Transformá cada vector de la base y poné las coordenadas de las imágenes como columnas.

Ejemplo 1

Hallar la matriz de $T(x, y) = (2x, x + 3y)$ en las bases canónicas.

Transformamos el primer vector de la base. $T(1, 0) = (2, 1)$ , que es la primera columna.
Transformamos el segundo. $T(0, 1) = (0, 3)$ , que es la segunda columna.
Armamos la matriz y verificamos. Queda $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ . Multiplicada por $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$
da $\begin{bmatrix} 6 \\ 9 \end{bmatrix}$ , igual que la fórmula.
Respuesta: $\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

Ejemplo 2

Hallar la matriz de $T(x, y, z) = (x + z, y)$ .

Miramos las dimensiones que va a tener. De $R^{3}$ a $R^{2}$ , así que la matriz es $2 \times 3$ : dos filas y tres columnas.
Transformamos los tres vectores de la base. $(1, 0)$ , $(0, 1)$ y $(1, 0)$ .
Los ponemos como columnas. Queda $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ .
Respuesta: $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Error típico

Poner las imágenes como filas. Con $T(1, 0) = (2, 1)$ , el $2 y$ el $1$ van uno debajo del otro en la primera columna, no uno al lado del otro en la primera fila.

Practicar

← Teorema de la dimensión Matriz en otras bases →

Otros subtemas de Transformaciones lineales y diagonalización

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .