Método

Ejercicios: Matriz asociada

columna i=T(bi)i = T(b_{i})

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la matriz asociada a T(x;y)=(x−3y;−4x+y)T(x; y) = (x - 3y; -4x + y) en la base canónica.

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1. Recordamos cómo se arma. Las columnas de la matriz son las imágenes de los vectores de la base, escritas en la base del codominio.

2. Calculamos la imagen del primero. T(1;0)=(1;−4)T(1; 0) = (1; -4), que va como primera columna.

3. Calculamos la del segundo. T(0;1)=(−3;1)T(0; 1) = (-3; 1), que va como segunda columna.

4. Armamos la matriz. A=[1−3−41]A = \begin{bmatrix}1 & -3 \\ -4 & 1\end{bmatrix}

5. Verificamos. Multiplicando AA por (x;y)(x; y) se recupera la fórmula original.

Respuesta: A=[1−3−41]A = \begin{bmatrix}1 & -3 \\ -4 & 1\end{bmatrix}

2. Con matriz asociada A=[−2−5−53]A = \begin{bmatrix}-2 & -5 \\ -5 & 3\end{bmatrix}, calculá T(−3;−1)T(-3; -1).

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1. Recordamos la relación. Aplicar la transformación es multiplicar la matriz por el vector de coordenadas.

2. Planteamos el producto. T(−3;−1)=[−2−5−53][−3−1]T(-3; -1) = \begin{bmatrix}-2 & -5 \\ -5 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3 \\ -1\end{bmatrix}

3. Calculamos cada componente. (−2)(−3)+(−5)(−1)=11(-2)(-3) + (-5)(-1) = 11 y (−5)(−3)+(3)(−1)=12(-5)(-3) + (3)(-1) = 12

4. Escribimos el resultado. T(−3;−1)=(11;12)T(-3; -1) = (11; 12)

5. Observamos. La matriz asociada convierte cualquier transformación lineal en una multiplicación, que es mucho más fácil de manejar.

Respuesta: T(−3;−1)=(11;12)T(-3; -1) = (11; 12)

3. Con matriz asociada A=[−2−5−32]A = \begin{bmatrix}-2 & -5 \\ -3 & 2\end{bmatrix}, hallá el núcleo y la imagen de TT.

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1. Calculamos el determinante. det⁡(A)=−19\det(A) = -19, distinto de cero.

2. Hallamos el núcleo. El núcleo son las soluciones de AX=0AX = 0. Como el determinante no es cero, la única solución es la trivial.

3. Escribimos el núcleo. {(0;0)}\{(0; 0)\}, de dimensión 00.

4. Hallamos la imagen. Por el teorema de la dimensión, 2=0+dim⁡(Im⁡)2 = 0 + \dim(\operatorname{Im}), así que la imagen tiene dimensión 22.

5. Concluimos. La imagen es todo R2\mathbb{R}^2 y la transformación es un isomorfismo.

Respuesta: el núcleo es {(0;0)}\{(0; 0)\} y la imagen es todo R2\mathbb{R}^2

4. Hallá la matriz asociada a la rotación de 90∘90^\circ en el plano, en la base canónica.

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1. Vemos qué le hace la rotación a la base. Rotar 90∘90^\circ en sentido antihorario lleva el eje xx al eje yy.

2. Calculamos la primera imagen. T(1;0)=(0;1)T(1; 0) = (0; 1), que es la primera columna.

3. Calculamos la segunda. T(0;1)=(−1;0)T(0; 1) = (-1; 0), porque el eje yy pasa a apuntar hacia el xx negativo.

4. Armamos la matriz. A=[0−110]A = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}

5. Verificamos. det⁡(A)=1\det(A) = 1: la rotación no cambia áreas ni orientación, como corresponde.

Respuesta: A=[0−110]A = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}

5. Hallá la matriz asociada a T(x;y)=(3x+5y;3x+2y)T(x; y) = (3x + 5y; 3x + 2y) en la base canónica.

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1. Recordamos cómo se arma. Las columnas de la matriz son las imágenes de los vectores de la base, escritas en la base del codominio.

2. Calculamos la imagen del primero. T(1;0)=(3;3)T(1; 0) = (3; 3), que va como primera columna.

3. Calculamos la del segundo. T(0;1)=(5;2)T(0; 1) = (5; 2), que va como segunda columna.

4. Armamos la matriz. A=[3532]A = \begin{bmatrix}3 & 5 \\ 3 & 2\end{bmatrix}

5. Verificamos. Multiplicando AA por (x;y)(x; y) se recupera la fórmula original.

Respuesta: A=[3532]A = \begin{bmatrix}3 & 5 \\ 3 & 2\end{bmatrix}

6. Con matriz asociada A=[−1−5−42]A = \begin{bmatrix}-1 & -5 \\ -4 & 2\end{bmatrix}, calculá T(1;2)T(1; 2).

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1. Recordamos la relación. Aplicar la transformación es multiplicar la matriz por el vector de coordenadas.

2. Planteamos el producto. T(1;2)=[−1−5−42][12]T(1; 2) = \begin{bmatrix}-1 & -5 \\ -4 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 2\end{bmatrix}

3. Calculamos cada componente. (−1)(1)+(−5)(2)=−11(-1)(1) + (-5)(2) = -11 y (−4)(1)+(2)(2)=0(-4)(1) + (2)(2) = 0

4. Escribimos el resultado. T(1;2)=(−11;0)T(1; 2) = (-11; 0)

5. Observamos. La matriz asociada convierte cualquier transformación lineal en una multiplicación, que es mucho más fácil de manejar.

Respuesta: T(1;2)=(−11;0)T(1; 2) = (-11; 0)

7. Con matriz asociada A=[−523−2]A = \begin{bmatrix}-5 & 2 \\ 3 & -2\end{bmatrix}, hallá el núcleo y la imagen de TT.

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1. Calculamos el determinante. det⁡(A)=4\det(A) = 4, distinto de cero.

2. Hallamos el núcleo. El núcleo son las soluciones de AX=0AX = 0. Como el determinante no es cero, la única solución es la trivial.

3. Escribimos el núcleo. {(0;0)}\{(0; 0)\}, de dimensión 00.

4. Hallamos la imagen. Por el teorema de la dimensión, 2=0+dim⁡(Im⁡)2 = 0 + \dim(\operatorname{Im}), así que la imagen tiene dimensión 22.

5. Concluimos. La imagen es todo R2\mathbb{R}^2 y la transformación es un isomorfismo.

Respuesta: el núcleo es {(0;0)}\{(0; 0)\} y la imagen es todo R2\mathbb{R}^2

8. Hallá la matriz asociada a la simetría respecto del eje xx en el plano, en la base canónica.

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1. Vemos qué le hace la simetría a la base. Reflejar respecto del eje xx deja fijo lo que está sobre ese eje y cambia el signo de la altura.

2. Calculamos la primera imagen. T(1;0)=(1;0)T(1; 0) = (1; 0): el vector está sobre el eje de simetría y no se mueve.

3. Calculamos la segunda. T(0;1)=(0;−1)T(0; 1) = (0; -1): el eje yy se da vuelta.

4. Armamos la matriz. A=[100−1]A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}

5. Verificamos. det⁡(A)=−1\det(A) = -1: el signo negativo indica que la transformación invierte la orientación, que es lo que hace una reflexión.

6. Comparamos con la rotación. Las dos conservan las distancias, pero la rotación mantiene la orientación y la reflexión la invierte. El determinante distingue los dos casos.

Respuesta: A=[100−1]A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}

9. Hallá la matriz asociada a T(x;y)=(3x−4y;2x+5y)T(x; y) = (3x - 4y; 2x + 5y) en la base canónica.

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1. Recordamos cómo se arma. Las columnas de la matriz son las imágenes de los vectores de la base, escritas en la base del codominio.

2. Calculamos la imagen del primero. T(1;0)=(3;2)T(1; 0) = (3; 2), que va como primera columna.

3. Calculamos la del segundo. T(0;1)=(−4;5)T(0; 1) = (-4; 5), que va como segunda columna.

4. Armamos la matriz. A=[3−425]A = \begin{bmatrix}3 & -4 \\ 2 & 5\end{bmatrix}

5. Verificamos. Multiplicando AA por (x;y)(x; y) se recupera la fórmula original.

Respuesta: A=[3−425]A = \begin{bmatrix}3 & -4 \\ 2 & 5\end{bmatrix}

10. Con matriz asociada A=[−3−45−4]A = \begin{bmatrix}-3 & -4 \\ 5 & -4\end{bmatrix}, calculá T(1;3)T(1; 3).

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1. Recordamos la relación. Aplicar la transformación es multiplicar la matriz por el vector de coordenadas.

2. Planteamos el producto. T(1;3)=[−3−45−4][13]T(1; 3) = \begin{bmatrix}-3 & -4 \\ 5 & -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 \\ 3\end{bmatrix}

3. Calculamos cada componente. (−3)(1)+(−4)(3)=−15(-3)(1) + (-4)(3) = -15 y (5)(1)+(−4)(3)=−7(5)(1) + (-4)(3) = -7

4. Escribimos el resultado. T(1;3)=(−15;−7)T(1; 3) = (-15; -7)

5. Observamos. La matriz asociada convierte cualquier transformación lineal en una multiplicación, que es mucho más fácil de manejar.

Respuesta: T(1;3)=(−15;−7)T(1; 3) = (-15; -7)

11. Con matriz asociada A=[13−25]A = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -2 & 5\end{bmatrix}, hallá el núcleo y la imagen de TT.

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1. Calculamos el determinante. det⁡(A)=11\det(A) = 11, distinto de cero.

2. Hallamos el núcleo. El núcleo son las soluciones de AX=0AX = 0. Como el determinante no es cero, la única solución es la trivial.

3. Escribimos el núcleo. {(0;0)}\{(0; 0)\}, de dimensión 00.

4. Hallamos la imagen. Por el teorema de la dimensión, 2=0+dim⁡(Im⁡)2 = 0 + \dim(\operatorname{Im}), así que la imagen tiene dimensión 22.

5. Concluimos. La imagen es todo R2\mathbb{R}^2 y la transformación es un isomorfismo.

Respuesta: el núcleo es {(0;0)}\{(0; 0)\} y la imagen es todo R2\mathbb{R}^2

12. Hallá la matriz asociada a la homotecia de razón 33 en el plano, en la base canónica.

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1. Definimos la transformación. Una homotecia de razón 33 multiplica todo vector por 33: T(v)=3vT(v) = 3v.

2. Calculamos la primera imagen. T(1;0)=(3;0)T(1; 0) = (3; 0), que es la primera columna.

3. Calculamos la segunda. T(0;1)=(0;3)T(0; 1) = (0; 3), que es la segunda columna.

4. Armamos la matriz. A=[3003]A = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

5. Verificamos. det⁡(A)=9\det(A) = 9: las áreas se multiplican por 99, que es 323^2. Tiene sentido, porque se estira en las dos direcciones.

6. Observamos. La matriz es 33 veces la identidad. Toda homotecia tiene matriz diagonal con la razón repetida, sin importar la base elegida.

Respuesta: A=[3003]A = \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}

Integradores de Transformaciones lineales y diagonalización: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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